tp安卓app下载|topsis熵权法

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2024-03-09 19:43:47

什么叫做"基于熵权的 TOPSIS 综合评价法”? - 知乎

什么叫做"基于熵权的 TOPSIS 综合评价法”? - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册法学什么叫做"基于熵权的 TOPSIS 综合评价法”?关注者10被浏览116,417关注问题写回答邀请回答好问题添加评论分享6 个回答默认排序疯狂绅士SAISM-夹逼对抗解释结构模型——扯蛋的表现形式关注你这里有三个概念。只要记得topsis是什么就行！一、综合评价综合评价（Comprehensive Evaluation，CE），也叫综合评价方法或多指标综合评价方法，是指使用比较系统的、规范的方法对于多个指标、多个单位同时进行评价的方法。它不只是一种方法，而是一个方法系统，是指对多指标进行综合的一系列有效方法的总称。综合评价方法在现实中应用范围很广。综合评价是针对研究的对象，建立一个进行测评的指标体系，利用一定的方法或模型，对搜集的资料进行分析，对被评价的事物作出定量化的总体判断。综合评价的三大关键技术：其一，指标选择；其二，权数的确定；其三，方法的适宜。二、求权重的方法求权重的方法如下：求权重方法有客观法与主观法。熵权法是用的最广的客观法。三、topsis方法TOPSIS方法说明流程图中纵向的过程即为TOPSIS方法的流程。TOPSIS简介。　　TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）法是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。TOPSIS法是一种逼近于理想解的排序法，该方法只要求各效用函数具有单调递增（或递减）性就行。TOPSIS法是多目标决策分析中一种常用的有效方法，又称为优劣解距离法。该方法又被称为“双基点法”TOPSIS重要基本概念与原理 “正理想解”和“负理想解”是TOPSIS法的最基本的概念。　　离正理想点（最好的解、最佳点、最优解、最大极值点）的距离越远，效果最差，即为负向指标。因为其数值越大越差，数值越小越牛逼。　　离负理想点（最差的解、最差点、最劣解、最差极值点）的距离越远，效果最好，即为正向指标。因为其数值越小越牛逼，数值越大越差。贴近度、相似度是TOPSIS法的另外一个重要概念。　　越贴近正理想点，即数值越大，效果最大，即为正向指标。　　越贴近负理想点，即数值越大，效果最差，即为为向指标。可以把熵权法只是topsis的一部分topsis就是一种综合评价方法。发布于 2022-10-07 18:53赞同 44添加评论分享收藏喜欢收起SPSSAU已认证账号关注举个例子进行说明。一、分析前准备1.研究背景TOPSIS法用于研究评价对象与‘理想解’的距离情况，结合‘理想解’（正理想解和负理想解），计算得到最终接近程度C值。熵权TOPSIS法核心在于TOPSIS，但在计算数据时，首先会利用熵值（熵权法）计算得到各评价指标的权重，并且将评价指标数据与权重相乘，得到新的数据，利用新数据进行TOPSIS法研究。通俗地讲，熵权TOPSIS法是先使用熵权法得到新数据newdata（数据成熵权法计算得到的权重），然后利用新数据newdata进行TOPSIS法研究。例如：当前有一个项目进行招标，共有4个承包商，分别是A,B,C,D厂。由于招标需要考虑多个因素，各个方案指标的优劣程度也并不统一。为了保证评价过程中的客观、公正性。因此，考虑通过熵权TOPSIS法，对各个方案进行综合评价，从而选出最优方案。2.数据格式熵权TOPSIS法用于研究指标与理想解的接近度情况。1个指标占用1列数据。1个研究对象为1行，但研究对象在分析时并不需要使用，SPSSAU默认会从上到下依次编号。二、SPSSAU操作（1）登录账号后进入SPSSAU页面，点击右上角“上传数据”，将处理好的数据进行“点击上传文件”上传即可。（2）拖拽分析项在“综合评价”模块中选择“熵权topsis”方法，将分析项拖拽到右侧分析框中，点击“开始分析”即可。三、SPSSAU数据处理1.数据正向化/逆向化处理如果数据中有逆向指标（数字越大反而越不好的意思），此时需要使用‘SPSSAU数据处理->生成变量’的‘逆向化’功能处理。让数据变成正向指标（即数字越大越好的意思）。‘逆向化’的数据计算公式为：（Max-X）/(Max-Min)，明显可以看出，针对逆向指标进行‘逆向化’处理后，数据就会变成正向指标。【SPSSAU】数据无量纲化处理 | 数据分析常见问题解答2．数据标准化处理针对数据进行标准化处理，目的在于解决量纲化问题。常见的标准化处理方法有：‘归一化’，‘区间化’，‘均值化’等。（1）‘归一化’将所有数据压缩在0到1之间；（2）‘区间化‘将所有数据压缩在自己设定的区间；（3）‘均值化’= 当前值 / 平均值。补充说明：一般而言，如果数据全部都大于0，建议使用‘均值化’；如果数据中有负数或者0，建议做‘区间化’让数据限定在一个区间（SPSSAU默认1~2之间）；当然也可以考虑‘归一化’，让数据全部介于0~1之间。具体标准化的处理方式有很多种，具体结合文献和自身数据选择使用即可。不同的处理方式肯定会带来不同的结果，但结论一般不会有太大的偏倚。（如果数据进行了正/逆向化处理就不需要再进行标准化处理。）四、SPSSAU分析背景：当前有6个国家经济技术开发区，分别在政务系统的4个指标上的评分值。数字越大表示指标越优。当前希望利用熵权TOPSIS法评价出6个开发区的政务系统排名情况。原始数据如下：本案例数据中包括4个政务系统的评价指标，而且全部都是正向指标，因此不需要进行正向化或者逆向化处理。以及接着数据标准化解决量纲问题上，本例子使用‘均值化’处理方法。操作为SPSSAU数据处理->生成变量：完成数据‘均值化’处理后，直接开始进行‘熵值TOPSIS法’分析，操作如下图：1.熵值法计算权重结果汇总上表格展示出4个政务系统指标的权重值，明显可以看出指标3的权重更大。但权重大小仅仅是过程值，熵值TOPSIS分析重心在于TOPSIS法计算出相对接近度。权重值与数据相乘，得到新数据newdata，这一过程是SPSSAU自动完成，利用newdata进行TOPSIS法计算。2.TOPSIS评价计算结果分析结果来源于SPSSAU从上表可知，利用熵权法后加权生成的数据(算法自动完成)进行TOPSIS分析，针对4个指标(MC_政务系统指标1, MC_政务系统指标2, MC_政务系统指标3, MC_政务系统指标4)，进行TOPSIS评价，同时评价对象为6个（样本量数量即为评价对象数量）；TOPSIS法首先找出评价指标的正负理想解值(A+和A-)，接着计算出各评价对象分别与正负理想解的距离值D+和D-。根据D+和D-值，最终计算得出各评价对象与最优方案的接近程度(C值)，并可针对C值进行排序。最终从上表可知：评价对象4，即开发区4，它的相对接近度C值最高为0.9995，因而说明开发区4在政务系统上的表现最优；其次是开发区3，相对接近度C起来0.8141。开发区1的政务系统表现最差。3.正负理想解4.描述统计分析数据完整并无缺失等，可通过上表格查看各分析项的平均值或标准差值等。从上表格可以看出四个分析项的样本量均为6，平均值均为1。五、其他说明1.如果分析数据中有负数或者0值如何办？如果分析数据有负数或者0，这会导致无法进行熵值法计算，SPSSAU算法默认会进行‘非负平移’处理。SPSSAU非负平移功能是指，如果某列（某指标）数据出现小于等于0，则让该列数据同时加上一个‘平移值’（该值为某列数据最小值的绝对值+0.01），以便让数据全部都大于0，因而满足算法要求。2. 面板数据如何进行熵值TOPSIS法？熵值TOPSIS法的原理是先进行熵值法，然后再进行TOPSIS法。无论是面板或者非面板数据，均可正常进行熵值TOPSIS法研究，并不需要特别处理。（当然面板数据进行分析时，也可以先筛选出不同的年份，重复进行多次均可）。六、总结熵权TOPSIS法分别涉及熵权法和TOPSIS法；熵权法计算各评价指标的权重值，然后利用权重值乘原始数据，得到newdata。系统利用newdata进行TOPSIS法进行计算，最终得到各评价对象的接近程序C值，用于判断和衡量评价对象的优劣排序等。【SPSSAU】熵权topsis法案例解读【SPSSAU】熵值法的各类应用【SPSSAU】熵值法操作及应用 | 数据分析常见问题解答今天的分享就到这里啦，更多干货请前往SPSSAU官网查看：发布于 2023-10-12 10:20赞同 10添加评论分享收藏喜欢

基于熵权法的Topsis模型（清风数学建模课后笔记）_熵权topsis评价模型-CSDN博客

基于熵权法的Topsis模型（清风数学建模课后笔记）

weixin_57449924

已于 2022-03-30 22:06:46 修改

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于 2022-03-30 22:05:11 首次发布

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Topsis法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。

Topsis法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

在之前，我们学习过层次分析法（AHP）。其中，层次分析法模型的局限性是需要我们构造判断矩阵，这具有很强的主观性，并且决策因子数量最好不超过10个。那么有没有一种客观的方法去判断各因子之间的权重呢？基于熵权法的Topsis模型可以解决这个问题。

本文借鉴了数学建模清风老师的课件与思路，如果大家发现文章中有不正确的地方，欢迎大家在评论区留言，也可以点击查看右侧链接查看清风老师视频讲解：【强烈推荐】清风：数学建模算法、编程和写作培训的视频课程以及Matlab等软件教学_哔哩哔哩_bilibili

一个小例子引出Topsis模型

这样评分有不合理之处，若小王得分为10分，那么他的总评分还是为0.1分，这显然是不合理的。因此我们需要修改评价模型。

比较好的想法：

方法1

卷面最高成绩max：100

卷面最低成绩min：0

计算评分的公式：

方法2

最高成绩max：99

最低成绩min：60

计算评分的公式：

对于这个问题，可能大家会选方法1去进行评分，但大多是实际情况下，是没有最大值这个项的，如：国家年GDP增速等数据。并且比较的指标往往不只是单方面的，如成绩、竞赛成绩等。因此方法2更适合我们去进行评分。

拓展：增加指标个数

新增加了一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评分

成绩是越高越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。

与他人争吵的次数是越少越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

第一步：指标正向化

统一指标类型

将所有的指标转化为极大型称为指标正向化

极小型➡极大型

极小型指标转换为极大型指标的公式：max-x（此公式不唯一，若数据都为正数，那么也可以使用，此公式合理即可）

中间型➡极大型

中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估 PH 值）。是一组中间型指标序列，且最佳的数据为，那么正向化的公式如下：

因此

区间型➡极大型

区间型指标：指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。

第一步代码展示

[n,m] = size(X);

disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])

Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0： ']);

if Judge == 1

Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： ');

disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')

Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]： ');

for i = 1 : size(Position,2)

X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));

end

disp('正向化后的矩阵 X = ')

disp(X)

end

第二步：正向化矩阵标准化

标准化的目的就是消除不同量纲的影响。

假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：

那么对其标准化后的矩阵记为Z，Z的每一个元素：

即得到标准化矩阵Z（每一个元素/根号下所在列元素的平方和）:

注意：标准化的方法不唯一，但目的都是为了去量纲。

那么对题目中的矩阵进行处理：

第二步代码展示

Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);

disp('标准化矩阵 Z = ')

disp(Z)

第三步：计算得分并归一化

定义最大值：

定义最小值：

定义第i（i = 1,2,…,n）个评价对象与最大值的距离：

定义第i（i = 1,2,…,n）个评价对象与最小值的距离：

那么，我们可以计算得出第 i( i = 1,2,…,n) 个评价对象未归一化的得分:

很明显 0≤Si≤1，且 Si 越大 Di+ 越小，即越接近最大值。

得分结果如下

第三问代码展示

D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;

D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;

S = D_N ./ (D_P+D_N);

disp('最后的得分为：')

stand_S = S / sum(S)

[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

模型拓展

基于熵权法的Topsis模型：

我们在上面讨论时，有一个问题没有考虑，就是两个指标之间的权重关系，因为层次分析法是一个比较主观的计算权重方法，在这里会介绍一个客观的求权重方法：熵权法

熵权法的原理是指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。因此数据本身就告诉了我们权重。所以说熵权法是一种客观的方法。但就如评价三好学生的例子，只有学习成绩与违纪次数去评价一个学生，使用了熵权法之后，反而违纪次数的权重近于0，显然不符合常理。因此使用此方法后我们需要人工干预，判断一下权重是否合理（如2021年国赛C283论文）。若不合理，可通过层次分析法去修正权重大小。

熵权法代码展示

disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")

Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');

if Judge == 1

Judge = input('使用熵权法确定权重请输入1，否则输入0： ');

if Judge == 1

if sum(sum(Z<0)) >0 % 如果之前标准化后的Z矩阵中存在负数，则重新对X进行标准化

disp('原来标准化得到的Z矩阵中存在负数，所以需要对X重新标准化')

for i = 1:n

for j = 1:m

Z(i,j) = [X(i,j) - min(X(:,j))] / [max(X(:,j)) - min(X(:,j))];

end

disp('X重新进行标准化得到的标准化矩阵Z为: ')

disp(Z)

end

weight = Entropy_Method(Z);

disp('熵权法确定的权重为：')

disp(weight)

else

disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);

weight = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);

OK = 0; % 用来判断用户的输入格式是否正确

while OK == 0

if abs(sum(weight) -1)<0.000001 && size(weight,1) == 1 && size(weight,2) == m % 注意，Matlab中浮点数的比较要小心

OK =1;

else

weight = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');

end

else

weight = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m

end

模型总结

Topsis优劣解距离法模型是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。相对于层次分析法而言，Topsis法是解决决策层中数据已知的评价类模型。它可以解决多数据量的题目，数据计算简单易行。但对于各数据量之间的关系，我们需要使用熵权法或层次分析法来建立权重。

熵权法的原理是指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。因此数据本身就告诉了我们权重。所以说熵权法是一种客观的方法。但就如评价三好学生的例子，只有学习成绩与违纪次数去评价一个学生，使用了熵权法之后，反而违纪次数的权重近于0，显然不符合常理。因此使用此方法后我们需要人工干预，判断一下权重是否合理（如2021年国赛C283论文）。综合来说，在比赛中，对于决策层中数据已知的问题，使用Topsis模型十分合适。

解题步骤：1.熵权法确定权重

1.1数据标准化

1.2求出各指标的信息熵

1.3计算各指标的差异系数

1.4确定各指标的权重

1.5分别用权重乘以归一化后的数据

2.将原始矩阵正向化（变为极大型指标）

3.正向化矩阵标准化

4.确定最优方案和最劣方案

5.计算各评价对象与最优方案、最劣方案的接近程度

6.计算各评价对象与最优方案的贴近程度

7.根据贴近程度大小进行排序，给出评价结果

其优点为：1.避免了数据的主观性，不用通过检验，能够很好的刻画多个影响指标的综合影响力度

2.评估程序简单，计算过程简单易懂。

3.对于数据分布及样本量、指标多少无严格限制，既适于小样本资料，也适于多评价单元、多指标的大系统,较为灵活、方便

其缺点为：1.必须有两个以上的研究对象才可以进行使用

2.需要的每个指标的数据，对应的权重计算会有一定难度

3.不确定指标的选取个数为多少适宜，才能够很好刻画指标的影响力度

总结来说：Topsis法是评价类模型，在多个研究对象的情况下，计算灵活、方便，适合在评价类问题使用，可以与计算权重类模型相结合加以论证。

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基于熵权法的Topsis模型（清风数学建模课后笔记）

Topsis法（TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。 Topsis法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。在之前，我们学习过层次分析法（AHP）。其中，层次分析法模型的局限性是需要我们构造判断矩阵，这具有很强的主观性，并且决策因子数量最好不超过10个。那么有没有一种客观的方法去...

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专栏目录

TOPSIS-熵权法,topsis熵权法,matlab

09-10

计算TOPSIS-熵权法中的权重和指数综合得分

结合熵权法的TOPSIS方法

09-27

结合熵权法的topsis方法的代码，由于本身函数较多，还有一些数据作为例题所以没有办法单独放在网页上，只能通过压缩包下载

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《零基础数学建模》——TOPSIS+熵权法

qq_60918851的博客

05-25

1万+

前言

本文大部分是对于数学建模清风老师的课程学习总结归纳而来，我的理解可能有错误，大家发现错误可以在评论区批评指正，课程地址：《数学建模清风》

一、模型定义

二、模型思想

三、模型步骤与实现

四、模型扩展

五、模型总结

......

评价类模型：topsis法（优劣解距离法）+基于熵权法对topsis模型的修正

owj040321的博客

01-29

363

熵权法是一种客观的赋权方法=数据本身可以告诉我们权重依据的原理：指标的变异程度越小，所反映的信息量也就越少，其对应的权值也应该越低。

TOPSIS熵权评价分析法

weixin_44909158的博客

10-10

8393

TOPSIS熵权分析法

数学建模之：TOPSIS综合评价模型python代码

qq_52897257的博客

04-12

3823

数学建模之TOPSIS综合评价模型python代码

topsis算法模型和熵权法使用原理详解

weixin_44048813的博客

06-17

8777

topsis模型原理和熵权法计算方式

评价类模型---TOPSIS法

qq_51408826的博客

07-25

8526

TOPSIS法

统一指标类型

标准化处理

我们根据例子让大家更好的知道应该如何计算

总结

第一步：将原始矩阵正向化

第二步：正向化矩阵标准化

第三步：计算得分并归一化

练习题

模型的扩展

代码运行的几个问题

基于熵权法对TOPSIS模型的修正

熵权法的步骤...

综合评价之熵值法+TOPSIS

weixin_63010499的博客

05-15

1万+

一、熵值法

（一）原理

熵指代一种混乱程度，定义事物越混乱，其熵值就越大，事物越整齐，其熵值就越大。熵值法就是采用熵这个概念来对指标进行赋权。熵值法认为一个若一个指标的数据都大差不差，没有什么区别，那么其数据包含的信息量是很少的，几乎不能帮助我们决策，因此会赋予该指标一个小的权重，若一个指标的数据非常离散，则其包含较多的信息，做决策时应更依赖该指标，因此应该赋予该指标一个大的权重。在上诉思想上而建立了熵值法。其是基于数据本身的波动来进行赋权的，不具有主观性。

（二）计算步骤

(1)假设m个样本n个指

数学建模之熵权法——基于Topsis模型

熵值法与TOPSIS法以及两者结合_熵权法和熵权topsis区别-CSDN博客

熵值法与TOPSIS法以及两者结合

最新推荐文章于 2023-12-29 10:16:34 发布

卖山楂啦prss

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补充：TOPSIS法(优劣解距离法)介绍及 python3 实现

一、熵值法

熵值法的主要目的是对指标体系进行赋权

熵越大说明系统越混乱，携带的信息越少，权重越小；熵越小说明系统越有序，携带的信息越多，权重越大。

熵值法是一种客观赋权方法，借鉴了信息熵思想，它通过计算指标的信息熵，根据指标的相对变化程度对系统整体的影响来决定指标的权重，即根据各个指标标志值的差异程度来进行赋权，从而得出各个指标相应的权重，相对变化程度大的指标具有较大的权重。

步骤

（1）原始数据的收集与整理

假设有m个待评价样本，n项评价指标，形成原始指标数据矩阵：

(

⋮

⋱

⋮

⋯

)

X=\left( \begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{m1}& \cdots& x_{mn}\\ \end{matrix} \right)

X=⎝⎜⎛x11⋮xm1...⋱⋯x1n⋮xmn⎠⎟⎞ 其中

X_{ij}

Xij 表示第 i 个样本第 j 项评价指标的数值。

对于某项指标

X_j

Xj，样本的离散程度越大，则该指标在综合评价中所起的作用就越大。如果该指标的标志值全部相等，则表示该指标在综合评价中不起作用。

例如：

语文数学英语音乐张三50448590李四33742078王五46388810陈六65459851杨七13651245

或者

GDP就业人数财政支出人均可支配收入北京xxxxxxxx上海xxxxxxxx广州xxxxxxxx深圳xxxxxxxx

（2）数据处理

为消除因量纲不同对评价结果的影响，需要对各指标进行归一化或者标准化处理。

归一化处理：

若所用指标的值越大越好（正向指标:）

′

−

min

⁡

max

⁡

−

min

⁡

x'_{ij}=\frac{x_j-x_{\min}}{x_{\max}-x_{\min}}

xij′=xmax−xminxj−xmin 若所用指标的值越小越好（负向指标:）

′

max

⁡

−

max

⁡

−

min

⁡

x'_{ij}=\frac{x_{\max}-x_j}{x_{\max}-x_{\min}}

xij′=xmax−xminxmax−xj

其中

x_j

xj为第 j 项指标值，

x_{max}

xmax为第 j 项指标的最大值，

x_{min}

xmin为第 j 项指标的最小值。

或者标准化处理：

′

−

x'_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar{x}_j}{S_j}

xij′=Sjxij−xˉj

（3）计算比重

计算第 j 个指标中，第 i 个样本标志值的比重：

∑

，

≤

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_i^m{x_{ij}}}\,\,\,\,\,\,\text{，}0\le p_{ij}\le 1

pij=∑imxijxij，0≤pij≤1 此，可以建立数据的比重矩阵

(

⋮

⋱

⋮

⋯

)

P=\left( \begin{matrix} p_{11}& ...& p_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ p_{m1}& \cdots& p_{mn}\\ \end{matrix} \right)

P=⎝⎜⎛p11⋮pm1...⋱⋯p1n⋮pmn⎠⎟⎞

（4）计算第 j 个指标的熵值

−

∑

⁡

e_j=-k\sum_i^m{p_{ij}}\ln p_{ij}

ej=−ki∑mpijlnpij

其中，常数

，

⁡

k>0\text{，}k=\frac{1}{\ln m}

k>0，k=lnm1 保证

≤

0\le e_j\le 1

0≤ej≤1，即

e_j

ej最大为1

所以，第 j 个指标的熵值为

−

⁡

∑

⁡

e_j=-\frac{1}{\ln m}\sum_i^m{p_{ij}}\ln p_{ij}

ej=−lnm1i∑mpijlnpij

（5）定义第 j 个指标的差异程度

熵值法根据各个指标标志值的差异程度来进行赋权，从而得出各个指标相应的权重

−

d_j=1-e_j

dj=1−ej

（6）定义权重

∑

w_j=\frac{d_j}{\sum_{j=1}^n{d_j}}

wj=∑j=1ndjdj

（7）进行综合评价

∑

F_i=\sum_{j=1}^n{w_jp_{ij}}

Fi=j=1∑nwjpij 其中

F_i

Fi第 i 个待评价样本的综合评价值

语文数学英语音乐综合评价值F张三50448590

F_1

F1李四33742078

F_2

F2王五46388810

F_3

F3陈六65459851

F_4

F4杨七13651245

F_5

二、TOPSIS法

TOPSIS是通过逼近理想解的程度来评估各个样本的优劣等级

TOPSIS法的基本原理

在归一化后的原始数据矩阵中，找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算评价对象与最优方案和最劣方案之间的距离，并以此作为依据来评价样本的优劣等级。

基本步骤

假设有n个待评价样本，p项评价指标，形成原始指标数据矩阵：

(

⋮

⋱

⋮

⋯

)

X=\left( \begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1p}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{n1}& \cdots& x_{np}\\ \end{matrix} \right)

X=⎝⎜⎛x11⋮xn1...⋱⋯x1p⋮xnp⎠⎟⎞

（1）数据预处理

.使指标具有同趋势性。评价指标中有正向指标和负向指标之分，一般把负向指标转化为正向指标，转化的方法可采用倒数法（即1/X），多适用于绝对数指标；差值法（即1-X），多适用于相对数指标。转化后的数据矩阵仍记为X。 .数据无量纲化.。将原始数据归一化，以消除量纲向量数据归一化的方式：

∑

z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_i^{}{x_{ij}^2}}}

zij=∑ixij2

xij

最终得到分析数据矩阵

(

⋯

⋮

⋱

⋮

⋯

)

Z=\left( \begin{matrix} z_{11}& z_{12}& \cdots& z_{1p}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots& z_{2p}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots& z_{np}\\ \end{matrix} \right)

Z=⎝⎜⎜⎜⎛z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1pz2p⋮znp⎠⎟⎟⎟⎞

（2）寻找最优值和最劣值

找出各项指标的最优值和最劣值，建立最优值向量

z^+

z+和最劣值向量

−

z^-

z−

max

⁡

(

⋯

)

z^+=\underset{n\ \ j}{\max}\left( z_1^+,z_2^+,\cdots ,z_p^+ \right)

z+=n jmax(z1+,z2+,⋯,zp+)

−

min

⁡

(

−

⋯

−

)

z^-=\underset{n\ \ j}{\min}\left( z_1^-,z_2^-,\cdots ,z_p^- \right)

z−=n jmin(z1−,z2−,⋯,zp−)

（3）计算各个评价对象与最优值和最劣值之间的距离

∑

(

−

)

D_i^+=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}-z_j^+ \right) ^2}}

Di+=j∑(zij−zj+)2

−

∑

(

−

)

D_i^-=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}-z_j^- \right) ^2}}

Di−=j∑(zij−zj−)2

（4）计算各个评价指标与最优值的相对接近度

−

C_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}

Ci=Di++Di−Di−

（5）排序

根据

C_i

Ci的大小进行排序，

C_i

Ci越大，表明评价对象越接近最优值。

三、熵值法 + TOPSIS法

. 可以结合熵值法和 TOPSIS法各自的特点，进行评价。

假设有n个待评价样本，p项评价指标，形成原始指标数据矩阵：

(

⋮

⋱

⋮

⋯

)

X=\left( \begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1p}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{n1}& \cdots& x_{np}\\ \end{matrix} \right)

X=⎝⎜⎛x11⋮xn1...⋱⋯x1p⋮xnp⎠⎟⎞

其中

X_{ij}

Xij 表示第 i 个样本第 j 项评价指标的数值。

（1）求比值

∑

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^n{x_{ij}}}

pij=∑i=1nxijxij

（2）求熵值

−

⁡

∑

⁡

，

∈

[

]

e_j=-\frac{1}{\ln n}\sum_{i=1}^n{p_{ij}\ln p_{ij}}\ \ \text{，}e_j\in \left[ 0,1 \right]

ej=−lnn1i=1∑npijlnpij ，ej∈[0,1]

（3）信息冗余值

−

d_j=1-e_j

dj=1−ej

（4）定权

∑

w_j=\frac{d_j}{\sum_{j=1}^p{d_j}}

wj=∑j=1pdjdj

（5）归一化（向量标准化）

∑

z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_{ij}^2}}}

zij=∑i=1nxij2

xij

（6）构造加权矩阵

∗

⋅

z_{ij}^*=z_{ij}\cdot w_j

zij∗=zij⋅wj

得到加权矩阵

∗

[

⋅

⋯

⋅

⋯

⋅

⋮

⋱

⋮

⋅

⋯

⋅

]

Z^*=\left[ \begin{matrix} z_{11}\cdot w_1& z_{12}\cdot w_2& \cdots& z_{1p}\cdot w_p\\ z_{21}\cdot w_1& z_{22}\cdot w_2& \cdots& z_{2p}\cdot w_p\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ z_{n1}\cdot w_1& z_{n2}\cdot w_2& \cdots& z_{np}\cdot w_p\\ \end{matrix} \right]

Z∗=⎣⎢⎢⎢⎡z11⋅w1z21⋅w1⋮zn1⋅w1z12⋅w2z22⋅w2⋮zn2⋅w2⋯⋯⋱⋯z1p⋅wpz2p⋅wp⋮znp⋅wp⎦⎥⎥⎥⎤

（7）寻找最优、最劣方案

{

∗

max

⁡

(

∗

⋯

∗

)

∗

−

min

⁡

(

∗

−

∗

−

⋯

∗

−

)

\left\{ \begin{array}{l} z_{ij}^{*+}=\underset{n,p}{\max}\left( z_1^{*+},z_2^{*+},\cdots ,z_p^{*+} \right)\\ \\ z_{ij}^{*-}=\underset{n,p}{\min}\left( z_1^{*-},z_2^{*-},\cdots ,z_p^{*-} \right)\\ \end{array} \right.

⎩⎪⎨⎪⎧zij∗+=n,pmax(z1∗+,z2∗+,⋯,zp∗+)zij∗−=n,pmin(z1∗−,z2∗−,⋯,zp∗−)

（8）最优、最劣距离

∑

(

∗

−

∗

)

D_i^+=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}^*-z_j^{*+} \right) ^2}}

Di+=j∑(zij∗−zj∗+)2

−

∑

(

∗

−

∗

−

)

D_i^-=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}^*-z_j^{*-} \right) ^2}}

Di−=j∑(zij∗−zj∗−)2

（9）构造相对接近度

−

C_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}

Ci=Di++Di−Di−

（10）排序

根据

C_i

Ci的大小进行排序，

C_i

Ci越大，表明评价对象越接近最优值。

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熵值法与TOPSIS法以及两者结合

熵值法的主要目的是对指标体系进行赋权，而TOPSIS则是通过逼近理想解的程度来评估各个样本的优劣等级。一、熵值法二、TOPSIS法三、熵值法与TOPSIS法结合...

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TOPSIS熵值法R代码.R

04-06

topsis评价类算法+熵权法确定权重，r语言代码，可以直接代入数据进行运行，简单方便，私人编写的。

结合熵权法的TOPSIS方法

09-27

结合熵权法的topsis方法的代码，由于本身函数较多，还有一些数据作为例题所以没有办法单独放在网页上，只能通过压缩包下载

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综合评价之熵值法+TOPSIS

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一、熵值法

（一）原理

（二）计算步骤

(1)假设m个样本n个指

熵权法Matlab代码

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熵权法Matlab代码

熵权法+topsis 代码 topsis 熵权法一个代码可以四用，熵权法 topsis 基于熵权法修正的topsis

数学建模评价类——基于熵权法的Topsis模型 - 知乎

数学建模评价类——基于熵权法的Topsis模型 - 知乎首发于数学建模——建模切换模式写文章登录/注册数学建模评价类——基于熵权法的Topsis模型小洋同学参考清风老师的建模视频。基于熵权法对Topsis模型是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，客观进行权重幅值，其结果能客观地反映各评价方案之间的差距。记得最后的权重得结合实际来判断选取！建模步骤：1、数据正向化（全部变为极大值）常见的四个指标：极大型（效益型）指标越大（多）越好成绩、GDP增速、企业利润极小型（成本型）指标越小（少）越好费用、坏品率、污染程度中间型指标越接近某个值越好水质量评估时的PH值区间型指标落在某个区间最好体温、水中植物性营养物量极大指标：不变极小指标： max-x 中间型指标：区间型指标：2、接着标准化3、熵权法计算权重接着，计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权4、计算得分并归一化5、排序得评价优劣编辑于 2021-02-02 11:05数学建模赞同 10811 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录数学建模——建模自己的总

TOPSIS—熵权法的基本原理与基于Python实现代码 - 知乎

TOPSIS—熵权法的基本原理与基于Python实现代码 - 知乎切换模式写文章登录/注册TOPSIS—熵权法的基本原理与基于Python实现代码Sawyer科研笔记关注区域经济与可持续发展，城镇化与乡村振兴，Python与RTOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。熵权法是一种客观确定指标权重的方法，可以避免主观因素的影响。TOPSIS与熵权法可以组合使用，通过以下步骤进行综合评价：指标标准化并得到权重。得到加权后的规范化矩阵Z。确定正、负理想解。计算各样本距离正、负理想解的距离。计算各评价对象与最优方案的贴近程度。TOPSIS—熵权法综合评价的公式如下：标准化矩阵P：熵值E：权重W：加权规范化矩阵Z：正理想解和负理想解：距离和：贴近程度：代码实现import numpy as np

def entropy_weight(x):

# 计算每个指标的熵值

m, n = x.shape

e = np.zeros((1, n))

for j in range(n):

p = x[:, j] / x[:, j].sum()

e[0][j] = - (p * np.log(p)).sum()

# 计算每个指标的权重

w = np.zeros((1, n))

for j in range(n):

w[0][j] = (1 - e[0][j]) / ((1 - e).sum())

return w

def topsis(x, w):

# 将x归一化处理

m, n = x.shape

x_norm = np.zeros((m, n))

for j in range(n):

x_norm[:, j] = x[:, j] / np.sqrt((x[:, j]**2).sum())

# 计算加权后的矩阵

x_weighted = np.zeros((m, n))

for j in range(n):

x_weighted[:, j] = w[0][j] * x_norm[:, j]

# 计算最优解和最劣解

max_vec = x_weighted.max(axis=0)

min_vec = x_weighted.min(axis=0)

# 计算每个评价对象与最优解和最劣解的距离

d_plus = np.sqrt(((x_weighted - max_vec)**2).sum(axis=1))

d_minus = np.sqrt(((x_weighted - min_vec)**2).sum(axis=1))

# 计算得分

score = d_minus / (d_minus + d_plus)

return score

# 示例数据

x = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])

# 计算熵权法得到的权重

w = entropy_weight(x)

# 计算TOPSIS得分

score = topsis(x, w)

print(score)

近期文章Python入门：Python安装与环境配置Python基础用法 |《Python与开源GIS》Python读取excel的两种方法Python读取json数据Python基本库——解析库XPathPython基本库—正则表达式（regex）第一个Python爬虫空间分析：开工了开工了！空间计量模型系列教程一空间计量模型系列教程二情人节特辑之带有惊喜的空间计量模型系列教程三空间计量模型系列教程四空间计量模型系列教程五（完结啦）空间计量||空间权重矩阵空间计量——用GeoDa和stata生成空间权重矩阵的方法空间计量|| matlab实现空间计量模型SAR、SEM、SDM分享||空间计量科研工具（一）区域经济：经济地理学是经济学还是地理学？附重点外文期刊目录经济地理基本认识：异质性与尺度、格局、结构、功能分享||区域与城市经济学、房地产经济学与资源环境经济学慕课复旦大学城市经济研究所推荐阅读文献北京大学《城市经济学》推荐阅读文献城市、区域经济学必读书目推荐其他：MK突变检验的matla实现一个机智的MATLAB出图tips综合评价||泰尔指数的matlab实现空间计量之评价||DEA常见模型的matlab的实现（1）——CCR空间计量之评价||DEA常见模型的matlab的实现（2）——非期望产出SBM空间计量之评价||DEA常见模型的matlab的实现（2）——无非期望产出SBMCiteSpace实操教程基于SPSS的调查问卷信度和效度检验本文使用文章同步助手同步发布于 2023-06-14 08:41・IP 属地广东PythonPython 开发经济地理赞同 21 条评论分享喜欢收藏申请

topsis熵值法与熵值法相比有哪些优点？ - 知乎

topsis熵值法与熵值法相比有哪些优点？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册物理学学术计量topsis熵值法与熵值法相比有哪些优点？对数据分别用两种方法做了一遍，发现熵值法比topsis熵值法更合理，所以topsis的优点在哪里？显示全部关注者30被浏览308,229关注问题写回答邀请回答好问题 2添加评论分享8 个回答默认排序疯狂绅士SAISM-夹逼对抗解释结构模型——扯蛋的表现形式关注topsis主要是用来排序的。熵值法是求权重的。上面两个例子，第一个是选项。上面是每一步流程。熵权套下公式就行。没什么好讲的。上面是topsis的公式的。决策矩阵到关系矩阵可以看看的现在把对应整体的流程图整理一遍。上面的流程图分为横纵两个部分。纵向部分属于topsis纵向部分可以分为如下：①、属于规范化，通常用极差法规范化，注意一定要注意指标的属性，即正向指标还是负向指标。这步是错得最多的。②③、这步是对应的，一句话概括就是代入带权值的距离公式进行计算（熵权法就是求权重的而已）这一步求权重的方法有10来种，比如客观法熵权法，主观法AHP等等。距离公式有60来种，最常见的是欧式距离公式。因此这步的组合有600种情况。到正理想解的距离越远越差，是一个负向指标。到负理想点的距离越小越差，是正向指标。④⑤、是贴近度的公式有多种定义。⑥、妥协解可以理解为只有一列可以上面是用对抗拓扑层级图的方式指示评价对象的牛逼程度。比如上面是基于正负理想点D 得到的城市牛逼程度的排序情况。上面这个是皇帝好坏的牛逼情况。上面是几个省某方面牛逼比较的情况。上面也是幸福指数的情况最后topsis+熵权法跟熵权法，它就不是一个东西。熵权法就是求权重的一种方法而已。它只是topsis的一部分。补充偏序部分内容。上面是页面。上面是转化原理。在三组数据中只有A3的两个属性值都小于于A1。关系矩阵AA中 A3->A1即A3行A1列对应的单元格意思为A1比A3牛逼，即A3≺A1进阶一点的例子。熵权法只是求解权重的一种方法，没有啥好探讨的。上面流程图中的TOPSIS的核心是。一言以蔽之：topsis核心就是针对归一化矩阵，通过带权值的距离公式求解出到正负理想点的距离距离公式就有很多讲究了。比如闵可夫斯基度规，闵可夫斯基的时空。比如上面三种都是到正理想点的距离上面三种都是到负理想点的距离。由此可以有无穷多个变形与魔改。特别适合水一篇SCI之类的。编辑于 2022-03-03 23:52赞同 451 条评论分享收藏喜欢收起SPSSAU已认证账号关注TOPSIS法用于研究评价对象与‘理想解’的距离情况，结合‘理想解’（正理想解和负理想解），计算得到最终接近程度C值。熵权TOPSIS法核心在于TOPSIS，但在计算数据时，首先会利用熵值（熵权法）计算得到各评价指标的权重，并且将评价指标数据与权重相乘，得到新的数据，利用新数据进行TOPSIS法研究。通俗地讲，熵权TOPSIS法是先使用熵权法得到新数据newdata（数据成熵权法计算得到的权重），然后利用新数据newdata进行TOPSIS法研究。所以二者无需比较。分析数据时需要用到topsis熵值法或者熵值法，推荐用SPSSAU数据科学分析平台，上传数据，只需点击相应分析按钮，一键得出分析结果。以下以熵值法为例详细介绍如何使用SPSSAU进行分析：案例：研究案例是利用熵值法来对各企业的财务状况进行综合评价分析。选取了7个财务指标，分别是固定资产产值率、固定资产利税率、资金利润率、资产利税率、流动资金周转天数、销售收入利润率、全员劳动生产率。研究步骤：1. 分析前的指标处理指标量纲（单位）不一致会造成不同指标的数据有大有小，这样会影响计算结果。为了消除量纲的影响，分析前需要先对数据进行处理。无量纲化处理方法有多种，SPSSAU均有提供。常见处理办法有标准化、归一化、区间化等。由于熵值法的计算过程要求数值中不能存在0或负数，否则就无法计算出结果。推荐选择[区间化Interval]，这样可以避免计算出的结果出现0。操作：选择【数据处理】→【生成变量】→【区间化interval】。SPSSAU【数据处理】→【生成变量】*如果指标量纲均相同，如李克特量表题，这种单位统一的数据，则不需要处理。2. 熵值法分析操作：选择【综合评价】→【熵值法】。处理后的指标项放入右侧分析框里，点击开始分析。即可得到各指标权重。【综合评价】→【熵值法】熵值法分析结果各项指标的权重={0.117, 0.134, 0.142, 0.146, 0.139, 0.135, 0.186}。SPSSAU智能分析中也会提供每个指标具体的权重值。3. 计算综合得分得到指标权重后，即可计算综合得分，并对各企业综合得分进行排序。操作：选择【数据处理】→【生成变量】里的高级公式。综合得分=var1 * 0.186+var2*0.135+var3*0.139+var4*0.146+var5*0.142+var6*0.134+var7*0.117var1~var7分别对应7个指标，输入上述公式，点击“确定”，即可得到综合得分。然后根据综合得分结果进行排序。操作：【数据处理】→【生成变量】里的排名功能。点击“综合得分”，再选择“排名（Rank）”，点击确认处理。通过右上角【我的数据】即可查看到排名情况，以及下载综合得分和排名。下载后可使用EXCEL对数据进行整理，最终结果如下：权重计算的方法有很多，下面这篇文章列出常见的权重计算方法，并且对比各类权重计算法的思想和大概原理，使用条件等，便于研究人员选择出科学的权重计算方法：如果需要用TOPSIS法计算权重，可以看下文：另外下文详细写了用因子分析法确定权重：主成分法也是常用的计算权重的方法，可以看下面这篇文章：下文总结了问卷指标权重研究的分析方法：SPSSAU数据科学分析平台-让数据分析非常简单：发布于 2021-10-21 18:36赞同 17添加评论分享收藏喜欢

综合评价之TOPSIS模型 - 知乎

综合评价之TOPSIS模型 - 知乎首发于机器学习养成记切换模式写文章登录/注册综合评价之TOPSIS模型文武算法工程师一枚原文：综合评价之TOPSIS模型导读：在之前的文章里我们介绍了综合评价中的熵权法（未看请戳综合评价之熵权法），可以帮助我们在实际应用中解决如何客观确定指标权重的问题。今天继续来介绍另一种客观综合评价方法——TOPSIS模型，并且TOPSIS可以与熵权法组合使用。1、TOPSIS基本概念TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）模型中文叫做“逼近理想解排序方法”，是根据评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是一种距离综合评价方法。基本思路是通过假定正、负理想解，测算各样本与正、负理想解的距离，得到其与理想方案的相对贴近度（即距离正理想解越近同时距离负理想解越远），进行各评价对象的优劣排序。具体步骤及概念如下：step 1：指标同向化、标准化并得到权重。这部分与熵权法结合，通过熵权法得到权重，避免主观因素影响，得到权重向量W及标准化矩阵P。具体内容可参照综合评价之熵权法，这里不再赘述。step 2 ：得到加权后的规范化矩阵Z。Z由P与W相乘后得到。step 3 ：确定正、负理想解。正理想解指各指标都达到样本中最好的值，负理想解指各指标都为样本中最差的值。step 4 ：计算各样本距离正、负理想解的距离。step 5 ：计算各评价对象与最优方案的贴近程度。正其中的取值范围为[0,1]，越接近1表明样本评分越好。2、Python实现这里使用综合评价之熵权法中的测试数据作为演示。数据中共有4个变量，2036条样本，下面就开始用基于熵权法的TOPSIS计算样本得分。‍import pandas as pd

import numpy as np

#逆向指标标准化

def normalization1(data):

_range = np.max(data) - np.min(data)

return (data - np.min(data)) / _range

#正向指标标准化

def normalization2(data):

_range = np.max(data) - np.min(data)

return (np.max(data) - data) / _range

#熵权法计算权重

def entropyWeight(data):

P = np.array(data)

# 计算熵值

E = np.nansum(-P * np.log(P) / np.log(len(data)), axis=0)

# 计算权系数

return (1 - E) / (1 - E).sum()

def topsis(data, weight=None):

# 权重

weight = entropyWeight(data) if weight is None else np.array(weight)

# 最优最劣方案

Z = pd.DataFrame([(data*weight.T).min(), (data*weight.T).max()], index=['负理想解', '正理想解'])

#Z = pd.DataFrame([data.min(), data.max()], index=['负理想解', '正理想解'])

# 距离

Result = data.copy()

#Result['正理想解'] = np.sqrt(((data - Z.loc['正理想解']) ** 2 * weight).sum(axis=1))

#Result['负理想解'] = np.sqrt(((data - Z.loc['负理想解']) ** 2 * weight).sum(axis=1))

Result['正理想解'] = np.sqrt(((weight*data - Z.loc['正理想解']) ** 2 ).sum(axis=1))

Result['负理想解'] = np.sqrt(((weight*data - Z.loc['负理想解']) ** 2 ).sum(axis=1))

# 综合得分指数

Result['综合得分指数'] = Result['负理想解'] / (Result['负理想解'] + Result['正理想解'])

Result['排序'] = Result.rank(ascending=False)['综合得分指数']

return Result, Z, weight

if __name__=='__main__':

data = pd.read_csv('testdata.csv',sep = ',',encoding='gbk',header=None)

data1 = data.copy()

data1[0] = normalization1(data1[0])

data1[1] = normalization1(data1[1])

data1[2] = normalization1(data1[2])

data1[3] = normalization1(data1[3])

[result,z1,weight] = topsis(data1)最终得到的评分结果（部分）、正负理想解和权重如下：往期推荐：XGBoost（二）：R语言实现疫情下，你还好吗R语言爬虫与文本分析图片相似度识别：pHash算法编辑于 2021-03-28 20:40大数据分析算法数学模型赞同 836 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录机器学习养

数学建模之熵权法——基于Topsis模型-CSDN博客

数学建模之熵权法——基于Topsis模型

最新推荐文章于 2023-12-23 18:51:05 发布

我本无忧

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数学建模（MATALB篇）

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数学建模

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数学建模（MATALB篇）

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今天是来介绍一种确定几个指标各自所占的权重的方法——熵权法。昨天的模糊综合分析里有提到用熵权法确定了每个指标各自的权重，这里来详细写写过程。之前的博客有介绍过一种方法是优劣解距离法（Topsis模型），熵权法是基于这个模型来延伸的。

熵权法…用白话讲，就是根据已知评价对象指标的数值来确定每个指标所占的权重。（这里要注意，必须要有数值才可以用熵权法，如果没有数值是不可以用这种方法的）

熵权法的应用场景…简单的讲，就是在评价对象时，往往每个对象会有几个指标。那这几个指标哪个指标所占的权重最大呢？（当然可以自己去捏造一个，但是这样子好像主观性有点强。）如果你觉得自己捏造有点拿捏不准的感觉，那不妨来耐心读读这里的熵权法的使用。

这里主要是介绍，当拿到几个指标的数值（一个矩阵）时，如何用MATLAB确定它的权重。

把昨天模糊综合评价中的数据拿过来。（如果你不知道这数据是指啥，请翻看我上一篇博客《数学建模评价类模型——模糊综合分析法》）

① 判断指标的类型

之前优劣解距离法（Topsis模型）有讲，指标一般分为极大型、极小型、中间型和区间型。那我们这里的第一步就是判断上述5个指标分别是什么类型的。很明显，可采矿量、净现值是一个个极大型；基建投资、采矿成本、不稳定费用是极小型。

② 将指标正向化

这里出现了一个新词儿叫正向化（其实我之前在Topsis模型里有写到）。这里再来简单介绍一下，正向化就是将极小型、区间型、中间型这些指标转化为极大型。

将极小型转化为极大型的方法就是：max - x（中间型和区间型在之前的Topsis有介绍）

将这里的三个极小型指标（基建投资、采矿成本、不稳定费用）转化一下转化结果如下：

③ 对正向化后的矩阵进行标准化

这是正向化后的矩阵（matlab表示）：标准化方法如下：（z（ij）是标准化矩阵中的每个元素，x（ij）是正向化矩阵中的每个元素）标准化后的矩阵（Z_）如下：注意：这里得到的标准化中的矩阵不能有负数，也就是数值都必须大于等于0，如果有负数，需要按照下面这种方法重新进行标准化。

④ 计算概率矩阵P

计算方法如下：（这里的Z~（ij）就是前面的Z（ij））计算结果如下：

⑤ 计算每个指标的信息熵

计算方法如下：计算结果：（这里mylog是自定义函数，因为matlab log（0）是负无穷，我们这里的要求是log（0）= 0）

⑥ 计算信息效用值

计算方法如下：计算结果如下：

⑦ 计算熵权

计算方法如下：计算结果如下：

这个结果和前一篇博客（模糊综合评价）提到的是相同的

注：以上内容参考清风老师的数学建模视频

https://www.bilibili.com/video/BV1DW411s7wi?p=6

上一篇模糊综合评价博客地址：

https://editor.csdn.net/md/?articleId=105326566

Topsis模型地址：

https://editor.csdn.net/md/?articleId=105117447

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数学建模之熵权法——基于Topsis模型

写在前文：懒编是准备参加数学建模，并且负责编程部分（matlab）。因为时间有限，所以目前个人的看法就是以编程学习（因为是小白）为主，模型学习为辅（这里的辅是知道这个模型怎么用，它的代码怎么写）。当然，大家如果有兴趣深入研究数学模型，那也是没问题的。（极力赞同）今天是来介绍一种确定几个指标各自所占的权重的方法——熵权法。昨天的模糊综合分析里有提到用熵权法确定了每个指标各自的权重，这里来详细写写...

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结合熵权法的TOPSIS方法

09-27

结合熵权法的topsis方法的代码，由于本身函数较多，还有一些数据作为例题所以没有办法单独放在网页上，只能通过压缩包下载

熵权TOPSIS的Python代码

07-26

熵权TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种多属性决策分析方法，用于评估多个候选方案的优劣。它结合了熵权法和TOPSIS方法，旨在解决属性权重不确定性和属性间相互影响的问题。

以下是描述熵权TOPSIS算法的步骤：

准备数据：将所有候选方案的各属性值构成一个决策矩阵。

归一化数据：对决策矩阵进行归一化处理，使得每个属性值都处于相同的量纲范围内。常见的归一化方法包括最小-最大归一化、标准化等。

计算权重：使用熵权法计算每个属性的权重。首先计算每个属性的熵，然后计算属性的信息增益，并将其转化为权重。

构造加权正向理想解和加权负向理想解：根据归一化后的决策矩阵以及属性权重，计算出加权正向理想解和加权负向理想解。加权正向理想解的每个属性值都是该属性在决策矩阵中的最大值，而加权负向理想解的每个属性值都是该属性在决策矩阵中的最小值。

计算方案与理想解的接近程度：计算每个候选方案与加权正向理想解的接近程度以及与加权负向理想解的接近程度。常见的计算方法是使用欧几里德距离或曼哈顿距离等。

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TOPSIS-熵权法,topsis熵权法,matlab

09-10

计算TOPSIS-熵权法中的权重和指数综合得分

传感数据分析——Fuzzy Entropy Weight Method（模糊熵权法）

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基于熵权法的TOPSIS综合评价方法

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本文主要分享一下几个方面的内容：

熵权法的来源及原理

TOPSIS的原理

为啥这俩哥们可以合体，合体之后有什么奇效？

1 熵权法（EWM-【Entropy Weight Method】）

1.1 熵权法的来源

1.1.1 信息熵的来源

在分享信息熵来源时，我们先来看看熵的概念。

1865年，德国物理学家克劳修斯于提出熵的概念

1923年，德国科学家普朗克（Planck）来中国讲学用到"entropy"这个词，胡刚复教授翻译时灵机一动，把“商”字加火旁来意译“entropy”这个字，创造了“熵”字（拼音：shāng）。

1877年左右，玻尔兹曼提出熵的统计物理学解释。证明了系统的宏观物理性质可以认为是所有可能微观状态的等概率统计平均值。

玻尔兹曼提出一个系统的熵和所有可能微观状态的数目满足以下简单关系：$$S=k_B\ln\Omega $$

这个公式称为“玻尔兹曼公式”，其中$k_B$是玻尔兹曼常数，$\Omega$则为系统宏观状态中所包含的微观状态总数。

根据这个公式，我们可以将熵看作是一个系统“混乱程度”的度量，因为一个系统越混乱，可以看作是微观状态分布越均匀。例如，设想有一组$10$个硬币，每一个硬币有两面，掷硬币时得到最有规律的状态是$10$个都是正面或$10$个都是反面，这两种状态都只有一种构型（排列）。反之，如果是最混乱的情况，有5个正面5个反面，排列构型可以有$C_{10}^5$排列组合数，共$252$种。

玻尔兹曼公式的另一种等价表述形式是$$S=-k_B\sum_ip_i\ln p_i$$

其中$i$标记所有可能的微观态，$p_i$表示微观态的出现几率。

1948年，香农将统计物理中熵的概念引申到了信道通信中，从而开创了”信息论“这门学科。香农定义的“熵”又被称为“香农熵”或“信息熵”，即$$S\left(p_1,p_2,\cdots,p_n\right)=-K\sum_{i=1}^np_i\log_2p_i$$

其中$i$标记概率空间中所有可能的样本，$p_i$表示该样本的出现几率，$K$是和单位选取相关的任意常数。可以明显看出“信息熵”的定义和“热力学熵”（玻尔兹曼公式）的定义只相差某个比例常数。

1.1.2 信息熵公式的推导

下面一个例子让您搞明白信息熵公式为什么这样写。

在分享例子之前，我们首先要接受这样一个设想：即某事情发生的确定性越小，其包含的信息量越大，因为要使该事情发生的确定性变大，我们需要更多的信息去消除这种不确定性。比如现有小王和小红两个人，大家都知道小王动不动就往图书馆跑，小红动不动就TIMI。

期末考试到了，大家都以为小王成绩会很好，小红成绩会很差，但令人意想不到的是小红诚意是班级第一名，而小王成绩也很好。小红的成绩情况是不是包含了很多信息（咦？为啥整天TIMI，确是班级第一，偷摸学习了？作弊了？......），而小王的好成绩大家认为是理所应当的，包含的信息很少。我们知道概率只能在$0$到$1$之间，也就是说，最好在概率为$1$的时候，信息量为$0$，且概率越小，信息量越大。后来人们发现，对数函数很符合这样的规律，某个事件的信息量与概率的关系是 $i=\log(\frac{1}{p})$，这里的对数是以$2$为底的，$p$是事件发生的概率。

我们可以把$\frac{1}{p}$看成等可能信息数量，虽然我们遇到的更多情况是事件发生的可能性不一样的系统。实际上，我们总是可以把一个事件的概率值转换为一个等可能事件系统中发生某个事件的概率。举例来说，我们总是可以把一个概率值转换为“在N个球中随机摸一个球”这个等可能事件系统中摸出某个球的概率。

假设中彩票大奖的概率很低，只有两千万分之一，我们可以把这个概率值转换为在两千万个球中摸出中奖球的概率。在这个摸球系统中，就有两千万个等可能事件。说白了就是信息数量就是总可能数，也就是概率值的倒数，即 $N = \frac{1}{p}$ 。

再举一个例子，假设我们有一个动了手脚的不均匀硬币，它正面朝上的概率是0.8，反面朝上的概率是0.2。

反面朝上0.2的概率可以想象有5个球的摸球系统中摸出某个球的概率。

而正面朝上0.8的概率可以想象成在有1.25个球的系统中摸出某个球的概率。

我们通过想象把一个非等概率事件的系统拆成了两个等概率事件的系统。而面对等概率事件系统，我们就可以很容易地计算它们的信息量。再把这两个想象出来的摸球系统的信息量加起来，就是这个不均匀硬币的信息量：$\log5+\log1.25$，由于这两个我们想象出来的等概率系统本身出现的概率也不一样，因此我们需要分别乘上它们出现的概率，得$0.2\cdot\log5+0.8\cdot\log1.25$。

如果我们用符号去抽象这些具体的值，就是$$p_1\cdot\log\frac1{p_1}+p_2\cdot\log\frac1{p_2}\quad(1)$$

对于有更多事件的一般情况，我们可以这么表示：$$\sum_ip_i\log\frac1{p_i}\quad\quad(2)$$

整理后就是这个样子：

\[\begin{aligned}

\sum p_i\log\frac1{p_i}& =\sum_i(p_i\cdot\log p_i^{-1}) \\

&=\sum_i-p_i\log p_i\quad(3) \\

&=-\sum_ip_i\log p_i

\end{aligned}

最后就得到了香农所提出的信息熵公式：$-\sum_ip_i\log p_i$ 。

我们可以看出，信息熵实际上就是我们给每个概率值想象出来的某个系统的信息量的平均值（平均信息量），或者说是信息量的期望。相信有些眼力超群的读者看出此公式少了个系数$K$，其实系数$K = \frac{1}{\log{n}}$，为什么要系数$K$非要是它呢？根据琴生不等式可以得出，当 $p_1 = p_2 = ... = p_n = \frac{1}{n}$ 时，公式 $-\sum_ip_i\log p_i$ 取得最大值 $\log{n}$ 。所以乘以系数 $K$ 其实就是把计算结果控制在区间 [0 , 1] 之间，或者叫它标准熵。

我觉得这位大佬讲得很好，可以结合着看看。—> 信息熵的前世今生

1.2 熵权法的原理

如何利用信息熵的概念求出各个指标的权重呢？

一般来说，若某个指标的信息熵越小，表明指标值得变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所能起到的作用也越大，其权重也就越大。相反，某个指标的信息熵越大，表明指标值得变异程度越小，提供的信息量也越少，在综合评价中所起到的作用也越小，其权重也就越小。那基于此我们就可以根据信息熵计算各个指标的权重了。

1.2.1 指标正向化

极小型 -> 极大型： $x_i=max-x$

$\text{如果所有极小型指标的数据都为整数,那么也可以取倒数进行转换:}\frac1x$

中间型 -> 极大型：

$\begin{aligned}\{x_i\}&\text{是一组中间型指标序列,且最佳的数值为}xbest,\text{那么正向化的公式如下}:\\&M=max\{\mid x_i-x_{best}\mid\},\text{转换值计算}x=1-\frac{\mid x_i-x_{best}\mid}M\end{aligned}$

区间型 -> 极大型：

$\begin{aligned}&\text{[x_i]是一组区间型指标序列,且最佳的区间为}[\mathrm{a},\mathrm{b}],\text{那么正向化的公式如下:}\\&,M=max\{a-min\{x_i\},max\{x_i\}-b\},x=\begin{cases}1-\frac{a-x_i}M&x_i<\mathrm{a}\\1&a\leq x_i\leq b\\1-\frac{x_i-b}M&x_i>\mathrm{b}&\end{cases}\end{aligned}$

1.2.2 标准化处理（消除量纲影响）

假设有 $n$ 个要评价的对象，$m$ 个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：

\[X=\begin{bmatrix}

x_{11}&x_{12}&...&x_{1m}\\

x_{21}&x_{22}&...&x_{2m}\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

x_{n1}&x_{n2}&...&x_{nm}

\end{bmatrix}

\]那么，对其标准化的矩阵记为 $Z$ ，$Z$ 中的每一个元素： $Z_{ij}=x_{ij}/\sqrt{\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}$

判断 $Z$ 矩阵中是否存在着负数，如果存在，需要对 $X$ 使用另一种标准化方法。

对矩阵 $X$ 进行一次标准化得到 $\widetilde{Z}$ 矩阵，其标准化的公式为：

\[\tilde{z}_{ij}=\frac{x_{ij}-min\{x_{1j},x_{2j},\cdot\cdot\cdot,x_{nj}\}}{\max\{x_{1j},x_{2j},\cdot\cdot\cdot,x_{nj}\}-min\{x_{1j},x_{2j},\cdot\cdot\cdot,x_{nj}\}}

\]1.2.3 计算每个元素所占比重（将其看作信息熵里的概率p(x)）

假设有 $n$ 个要评价的对象，$m$ 个评价指标，且经过了上一步处理得到的非负矩阵为：

\[\widetilde{Z}=\begin{bmatrix}\widetilde{z}_{11}&\widetilde{z}_{12}&...&\widetilde{z}_{1m}\\\widetilde{z}_{21}&\widetilde{z}_{22}&...&\widetilde{z}_{2m}\\\vdots&&\ddots&\vdots\\\widetilde{z}_{n1}&\widetilde{z}_{n2}&...&\widetilde{z}_{nm}\end{bmatrix}

\] 我们计算概率矩阵 $P$，其中 $P$ 中的每一个元素 $P_{ij}$ 的计算公式如下：

\[p_{ij}=\frac{\tilde{z}_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\tilde{z}_{ij}}}

\]容易验证：$\sum_{i=1}^np_{ij}=1$ ,即保证了每一个指标所对应的概率和为 $1$ 。

1.2.4 计算每个指标的信息熵e，并求出权重

法一：通过计算信息冗余度来计算权重

对于第 $j$ 个指标而言。其信息熵计算公式为：

\[e_j=-\frac1{lnn}\sum_{i=1}^np_{ij}ln(p_{ij})\quad\quad(j=1,2,\cdots,m)

\] 信息冗余度：

\[d_i=1-e_i

\] 将信息冗余度归一化，得到每个指标的熵权：

\[W_j=\frac{d_j}{\sum_{j=1}^md_j}\quad\quad(j=1,2,\cdots,m)

法二：通过计算信息熵直接计算权重

这里k指的是指标个数，即k=m。

\[w_j=\frac{1-e_j}{k-\Sigma e_j}(\mathfrak{j}=1,2,\ldots,m)

\]其实，两种方式本质上是一样的

1.2.5 最后计算每个方案的综合评分

\[s_i=\sum_{j=1}^mw_j\cdot p_{ij}

\] 以上就是熵权法的原理了。

2 TOPSIS的原理（逼近理想解，也叫优劣解距离法）

前面的预处理阶段与熵权法一样，不一样的地方从数据标准化后的部分开始

经过了正向化处理和标准化处理的评分矩阵Z，里面的数据全部是极大型数据。我们就可以从中取出理想最优解和最劣解。因此我们取出每个指标，即每一列中最大的数，构成理想最优解向量，即

\[z^{+}=\left[\begin{array}{c}z_{1}^{+},z_{2}^{+},\ldots,z_{n}^{+}\\\end{array}\right]=\left[\max\left\{z_{11},z_{21},\ldots,z_{n1}\right\},\max\left\{z_{12},z_{22},\ldots,z_{n2}\right\},\ldots,\max\left\{z_{1m},z_{2m},\ldots,z_{mn}\right\}\right]

\] 同理，取每一列中最小的数计算理想最劣解向量：

\[z^-=\left[z_1^-,z_2^-,\ldots,z_m^-\right]=\left[\min\left\{z_{11},z_{21},\ldots,z_{n1}\right\},\min\left\{z_{12},z_{22},\ldots,z_{n2}\right\},\ldots,\min\left\{z_{1m},z_{2m},\ldots,z_{m}\right\}\right]

\]其中 $z^+就是z_{max}，z^-就是z_{min}$ 。

定义第 $i(i = 1,2,…,n) $个评价对象与最大值的距离：

\[D_i^+=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_j^+-z_{ij})^2}

\] 定义第 $i(i = 1,2,…,n) $个评价对象与最小值的距离：

\[D_i^-=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_j^--z_{ij})^2}

\] 那么，我们可以计算得出第 $i( i = 1,2,…,n)$个评价对象未归一化的得分:

\[S_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}

\] 很明显 $0≤Si≤1$，且 $Si$ 越大 $Di+$ 越小，即越接近最大值。

以上就是TOPSIS方法的原理了。

3 为啥这俩哥们可以合体，合体之后有什么奇效？

我们可以回想一下TOPSIS的原理，先求出正负理想解，然后计算每个评价对象与正负理想解的欧式距离（也就是差的平方和，然后开根号），TOPSIS在计算每个评价指标的时候，似乎没有考虑每个指标的重要程度，即默认了每个指标的重要程度是相等的，这显然是不太合理的，所以在此我们就可以进行优化。也就是和熵权法求权重的那一步合体。

有了各个指标的重要程度，就可以得出一个更加合理的评价模型。因为熵权法是基于原始数据计算各个指标的权重的，客观性很强。

模型总结

熵权法的原理是指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。因此数据本身就告诉了我们权重。所以说熵权法是一种客观的方法。但就如评价三好学生的例子，只有学习成绩与违纪次数去评价一个学生，使用了熵权法之后，反而违纪次数的权重近于0，显然不符合常理。因此使用此方法后我们需要人工干预，判断一下权重是否合理（如2021年国赛C283论文）。综合来说，在比赛中，对于决策层中数据已知的问题，使用Topsis模型十分合适

解题步骤：

熵权法确定权重

1.1 数据标准化

1.2 求出各指标的信息熵

1.3 计算各指标的差异系数

1.4 确定各指标的权重

1.5 分别用权重乘以归一化后的数据

将原始矩阵正向化（变为极大型指标）

正向化矩阵标准化

确定最优方案和最劣方案

计算各评价对象与最优方案、最劣方案的接近程度

计算各评价对象与最优方案的贴近程度

根据贴近程度大小进行排序，给出评价结果、

优点：

避免了数据的主观性，不用通过检验，能够很好的刻画多个影响指标的综合影响力度

评估程序简单，计算过程简单易懂。

对于数据分布及样本量、指标多少无严格限制，既适于小样本资料，也适于多评价单元、多指标的大系统,较为灵活、方便

缺点：

必须有两个以上的研究对象才可以进行使用

需要的每个指标的数据，对应的权重计算会有一定难度

不确定指标的选取个数为多少适宜，才能够很好刻画指标的影响力度

以上便是笔者分享的关于熵权法和TOPSIS合体的所有内容了，这是笔者在学习时的一些记录，通过写出来加深对知识的理解程度，希望笔者的分享能够帮助到您，感谢您的观看！❤️

参考

https://blog.csdn.net/weixin_57449924/article/details/123850208

https://blog.51cto.com/greyfoss/5469200

posted @

2023-08-10 22:47

荒_ayang

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熵权topsis法怎么对每个维度进行评价? - 知乎

熵权topsis法怎么对每个维度进行评价? - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册熵数据统计统计应用统计学熵权topsis法怎么对每个维度进行评价?像下图从每个维度进行评价，我只能算出一个总的相对贴进度进行评价 [图片]显示全部关注者8被浏览18,164关注问题写回答邀请回答好问题 3添加评论分享3 个回答默认排序疯狂绅士SAISM-夹逼对抗解释结构模型——扯蛋的表现形式关注1、两个例子及其流程图上面一篇论文页脚的第19页，文档显示的25页。框住的部分就是你所说的，对每个维度进行评价。上面有一个流程图。是那篇论文变形的画法。可以记住，你其实用一边的就行。记住Ka 的就可以。上面是一个具体的处理过程，直接看最后的流程图。到K+ K-就是你想做的。2、一句话说清topsis的数学本质带权值的距离公式求解归一化矩阵到正负理想点的距离。上面隐含了4个关键词。这四个关键词在下面链接有专门解释。第一、归一化（有六种）第二、求权重（很多种方法，归类为客观法，主观法）偷懒就用熵权法。主观法可以用ahp第三、距离公式（有很多种，这里列了常见的欧式距离公式，一般用这种）第四、正负理想（区域）点的距离。你的是每个维度按照距离公式来算。所以就是那个K+ K-比如例子中的结果是，无法区分大小。但是 P Q的可以区分大小。3、更高级的每个维度的评价同样的数据，如上面的。流程如上。一下子画好多对抗图。有13个，呈现夹逼的过程。从上面的到最下面的。这一些，都跟你的归一化方法，求权重的方法，距离公式有关。但是大体是一致的。编辑于 2021-11-21 00:31赞同 6添加评论分享收藏喜欢收起模型视角教师资格证持证人关注TOPSIS方法TOPSIS（Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种多属性决策分析方法，旨在确定最佳决策方案。它基于欧几里得距离的概念，将每个决策方案与理想方案之间的距离和每个决策方案与负理想方案之间的距离进行比较，从而确定最佳方案。以下是使用TOPSIS方法进行决策分析的基本步骤：确定决策问题的目标和标准指标。收集和整理各个方案的数据，并将其转化为决策矩阵。对决策矩阵进行标准化处理，以消除不同单位和量级之间的影响。确定正理想解和负理想解。正理想解是指在所有指标上取最优值的方案，负理想解是指在所有指标上取最劣值的方案计算每个决策方案与正理想解之间的距离和每个决策方案与负理想解之间的距离。计算每个决策方案的综合评价指数。根据综合评价指数，对各个决策方案进行排序，确定最佳方案。TOPSIS方法具有以下优点：1.可以同时考虑多个指标，可以更全面地评价各个方案。2.不需要对指标进行加权，可以避免主观性对结果的影响。3.对于数据较为稳定的情况下，TOPSIS方法具有较高的精度和稳定性。4.对于大多数实际问题，TOPSIS方法具有较好的适用性和实用性。但是，TOPSIS方法也存在一些缺点：1.对于指标之间存在非线性关系的情况，TOPSIS方法可能存在一定的误差。2.对于数据缺失和噪声较大的情况，TOPSIS方法可能会出现不稳定的结果。3.对于不同决策者的偏好不同的情况，TOPSIS方法可能存在较大的主观性。数学形式其数学模型可以描述如下：设有 m 个决策方案和 n 个属性指标，对于第 i 个决策方案，其对应的属性指标值为 x_{ij}，其中 j=1,2,\ldots,n。对于每个属性指标 j，存在一个正理想解 A_j 和一个负理想解 B_j，其中 A_j 表示该属性指标的最大最优值，B_j 表示该属性指标的最劣值。正理想解和负理想解可通过专家知识、历史数据或其他方法来确定。首先，需要将决策方案的属性指标标准化，使其变为无量纲的值。一种常用的标准化方法是将每个属性指标值 x_{ij} 按如下公式进行转换：y_{i j}=\frac{x_{i j}}{\sqrt{\sum_{i=1}^m x_{i j}^2}} \\其中 y_{ij} 表示第 i 个决策方案在第 j 个属性指标上的标准化值。接下来，对于每个决策方案，需要计算其与正理想解和负理想解的距离。设第 i 个决策方案与正理想解的距离为 D_i^+，与负理想解的距离为 D_i^-，计算公式如下：\begin{aligned} & D_i^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^n\left(y_{i j}-A_j\right)^2} \\ & D_i^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^n\left(y_{i j}-B_j\right)^2} \end{aligned} \\接着，需要计算每个决策方案的综合评价指数，即 TOPSIS 值。TOPSIS 值越大，表示该决策方案越接近正理想解，越优选。设第 i 个决策方案的 TOPSIS 值为 V_i，计算公式如下：V_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}} \\最后，根据 TOPSIS 值的大小，确定最优决策方案。TOPSIS 值最大的决策方案即为最优方案，TOPSIS 值最小的决策方案即为最劣方案。案例及Python求解假设有以下 4 个决策方案和 4 个属性指标：决策方案属性指标1属性指标 2属性指标3属性指标4A17657A29768A36586A48779对数据进行向量归一化处理：import numpy as np

import pandas as pd

data = {'A1': [7, 6, 5, 7],

'A2': [9, 7, 6, 8],

'A3': [6, 5, 8, 6],

'A4': [8, 7, 7, 9]}

df = pd.DataFrame(data)

df_normalized = df.apply(lambda x: x / np.sqrt(np.sum(x**2)), axis=0)

print(df_normalized)

处理结果如下：A1A2A3A400.5551360.5934420.4728660.513210.4758310.4615660.3940550.4490520.3965260.3956280.6304880.4490530.5551360.5275040.4728660.57735对于属性指标1，2，3，4，我们需要确定其正理想解和负理想解。假设正理想解为最大值，负理想解为最小值。计算每个评价对象与正负理想解的距离：def distance(x, y):

return np.sqrt(np.sum((x - y)**2))

d_plus = []

d_minus = []

for i in range(df_normalized.shape[0]):

d_plus_i = distance(df_normalized.iloc[i, :], df_normalized.max(axis=0))

d_minus_i = distance(df_normalized.iloc[i, :], df_normalized.min(axis=0))

d_plus.append(d_plus_i)

d_minus.append(d_minus_i)

四个评价对象与正理想解间的距离为[0.17017622288187903,

0.30990666174145626,

0.28416293360817746,

0.17085826460505485]

与负理想解的距离为：[0.2731557686534981,

0.10313648366633968,

0.23643312187173016,

0.2553832855263759]

接下来计算综合得分：V = np.array(d_minus) / (np.array(d_plus) + np.array(d_minus))

rank = np.argsort(V)[::-1]

几个评价对象的打分值为：[0.53338793, 0.44533794, 0.46907527, 0.53301189]排名为：[1, 4, 3, 2] 以上就是全部内容~欢迎关注“模型视角”数学建模公众号~发布于 2023-03-12 11:29赞同 22 条评论分享收藏喜欢收起

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