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质数（2,3,5,7,11,13，...）

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质数

什么是素数？

质数列表

0是质数吗？

1是质数吗？

2是素数吗？

什么是素数？

质数是一个正自然数，只有两个正自然数除数-一个和它本身。

质数的相反是合成数。复合数是一个正营养数，具有除一个或自身以外的至少一个正除数。

根据定义，数字1不是质数-它只有一个除数。

数字0不是质数-它不是正数并且具有无数个除数。

数字15的因数为1,3,5,15，因为：

15/1 = 15

15/3 = 5

15/5 = 3

15/15 = 1

因此15不是素数。

数字13只有两个除数1,13。

13/1 = 13

13/13 = 1

因此13是质数。

质数表

质数最大为100的列表：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97， ...

0是质数吗？

数字0不是质数。

零不是正数，并且具有无限大的除数。

1是质数吗？

根据定义，数字1不是质数。

一种是只有一个除数-本身。

2是素数吗？

数字2是质数。

两个具有2个自然数除数-1和2：

2/1 = 2

2/2 = 1

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质数 - 搜狗百科

搜狗百科质数(Prime number，又称素数)，[1]指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数(也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数)。网页微信知乎图片视频医疗汉语问问百科更多»登录帮助首页任务任务中心公益百科积分商城个人中心质数编辑词条添加义项同义词收藏分享分享到QQ空间新浪微博质数（Prime number，又称素数），[1]指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。中文名质数展开类别数学展开定义一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不再有其他的因数[2]展开外文名Prime number[3]展开数量无限个展开对应概念合数展开别名素数展开参考资料：1. 论微课对课堂教学改进的探究知网[引用日期2022-01-23]2. 数学家们努力探寻“质数公式”维普网[引用日期2022-05-23]3. 质数科技大数据知识发现平台[引用日期2022-04-06]词条标签：科学免责声明搜狗百科词条内容由用户共同创建和维护，不代表搜狗百科立场。如果您需要医学、法律、投资理财等专业领域的建议，我们强烈建议您独自对内容的可信性进行评估，并咨询相关专业人士。词条信息词条浏览：3097102次最近更新：23.11.22编辑次数：73次创建者：告别のGPO突出贡献者：新手指引了解百科编辑规范用户体系商城兑换问题解答关于审核关于编辑关于创建常见问题意见反馈及投诉举报与质疑举报非法用户未通过申诉反馈侵权信息对外合作邮件合作任务领取官方微博微信公众号搜索词条编辑词条收藏查看我的收藏分享分享到QQ空间新浪微博投诉登录企业推广免责声明用户协议隐私政策编辑帮助意见反馈及投诉© SOGOU.COM 京ICP备11001839号-1 京公网安备110000020000

请通俗易懂地讲讲什么是素数（质数）？ - 知乎

请通俗易懂地讲讲什么是素数（质数）？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数论素数初等数论请通俗易懂地讲讲什么是素数（质数）？本人不知道质数（素数）到底是什么，因数这些与它相关的数学术语也不知道。所以请通俗易懂地，尽可能简单地讲讲什么是质数，就如同跟小孩讲这个一样，谢谢。显示全部关注者23被浏览68,616关注问题写回答邀请回答好问题 2添加评论分享17 个回答默认排序知乎用户数学话题下的优秀答主小学的时候经常会把一些弹力球啊弹珠之类的东西摆成特定的形状玩。比如10颗弹珠，我们可以把它们摆放成2×5的长方形，或者5×2的长方形。总之可以摆出长方形。但是有一些数目的弹珠没法摆成长方形，只能摆成长长的一行或一列。这样的数目我们叫做素数。发布于 2020-09-29 23:15赞同 462 条评论分享收藏喜欢收起何冬州杨巅杨艳华典生软件试用与测试关注将自然数写成比它自己小的自然数的乘积，如果不能做到，那么它要么是0，要么是1，要么是质数。例如4=2*2，4可以写成比4小的数相乘，因此4不是素数。例如2，比2小的自然数有0和1，它们无论怎么相乘，得不到2，所以2是素数。再如3，比3小的自然数有0,1,2，它们无论怎么相乘，得不到3，所以3是素数。再如5，比5小的自然数有0,1,2,3,4，它们无论怎么相乘，得不到5，所以5是素数。关于0,1的特性，见后文说明。换个说法：一个自然数，如果它不是0，也不是1，它也不能分解成比它自己小的自然数的乘积，那么它是质数。30以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29外一则：一个自然数，如果它能分解成比它自己小的自然数的乘积，那么它是合数。30以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28合数分解成比它自己小的自然数的乘积举例：4=2*2=2^2，6=2*3，8=2*4=2*2*2=2^3，9=3*3=3^2，10=2*5，12=2*6=2*2*3=4*3=(2^2)*3，......综上，自然数可以分三类：{0,1}为一类，质数为一类，合数为一类。或者分四类：1，质数，合数，0{0,1}，0的乘法属性是吸收一切，是随自己的，0乘以任何数得0；1的乘法属性是奉献自我，是随他人的，1乘以谁就等于谁。它们的共性，0乘0等于他自己，1乘1等于他自己，可以称呼它们为幂循环数。质数，它不是1，它被1和它自己整除，不能被其它数整除。能整除它的数，只有1和它自己，只有这2个。我们说他的因数有2个。合数，除了能被1和它自己整除，还能被小于它的其它数整除。能整除它的数，除了1和它自己，还有有限个。我们说他的因数有多个。1只能被1整除，我们说他的因数只有1，同时也是它自己，它只有1个因数。0除了能被1和它自己整除，还能被其它任意自然数整除。能整除它的数，除了1和它自己，还有无限个。我们说他的因数有无数个（无限，无穷，无穷多个）。我个人有个提议：将0，1，素数称为准数，或分解基数，在考虑自然数的分解时，它们是基本的、基础的数。相关答题：何冬州杨巅杨艳华典生：为什么1不算素数？何冬州杨巅杨艳华典生：请通俗易懂地讲讲什么是素数(质数)?何冬州杨巅杨艳华典生：对于特定的正整数n，能拆成不同的n组两个素数之和的偶数有是否只有有限多个？以下为2021-8-10新增{质数和合数这两个词，是相对反义词。自然数={非质数也非合敢(幂循环数)0，1}+{质数2,3,57,11,13,...}+{合数4,6,8,9,10,12,...}我提议：自然数={准数(或称分解基数0,1这两个幂循环数，和所有质数)}+{合数4,6,8,9,10,12,...}补注：1曾经被归入质数，但为了保证质因数分解的有效性和唯一性，后来将他从质数中区别出来。0在某种意义上既有与合数相似的属性，我也曾想到把它归入合数里面。后来又发现，0也有与质数相似的属性(将它要写成因数分解的形式，必须有他自己存在)。同时我们发现，0与1有一种共性，就是他们的乘幂具有幂循环性(幂守性，幂模不变性，幂的绝对值不变性)：我们定义j具有幂循环性(幂守性)，是指j^n∈有限集合F(当n遍历自然数集时)。在自然数集上也可以称为幂等性，对应j=0,1，有限集合F={0},{1}；在(有理)整数集上，对应j=0,-1，有限集合F={0},{-1,1}；在高斯整数集{形如a+b√(-1)，(常常将√(-1)记作i)；a，b为有理整数}，对应j=0,√(-1)，有限集合F={0},{-i,-1,i,1}；在代数整数集上，...数的乘积分解，必须考虑到这种幂循环性。因此我们把幂循环数和质数合称为(积)分解基数，或者积准数，简称准数。8月13日新增：一、幂循环数：自然数范围内讨论：0的因数为任意自然数，即因子个数为∞个。1的因数只有1，即因子个数为1个。0的n≥1次方幂是0，1的n≥1次方幂是1，他们具有共性：幂等于它们自己。它们均归入幂循环数。0以外的幂循环数称为幺数。幺数的概念扩展：如果一组幺数可以由一个幺数e的幂来生成，那么我们称这个幺数e为本原幺数或者 (本)母幺数，其他幺数为派生幺数。称这些幺数之间的关系为相伴。如果一个数a=另外一个数b*幺数，我们也说a和b相伴。在整数范围内，1与-1均为幺数，其中-1是本原幺数。二、质数：自然数范围内讨论：因数个数=2个。质数概念扩展到整数范围：质数与它的相伴数，即质数*幺数=质数*{-1,1}，均称为质数，也可以称为正质数与负质数。更广的扩充：质数的相伴数我们均称为质数。但是为了保证质因数分解的唯一性，我们最好是将基本的质数和本母幺数称为分解基数或准数，称为数的准数因子分解的唯一性，或者质因数分解的相伴数归并意义上的唯一性。(这些用辞有待进一步的标准化和简化。)}编辑于 2021-08-13 18:17赞同 99 条评论分享收藏喜欢

质数 - 搜狗百科

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请通俗易懂地讲讲什么是素数（质数）？ - 知乎

质数（2,3,5,7,11,13，...）

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1是质数吗？

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什么是素数？

质数是一个正自然数，只有两个正自然数除数-一个和它本身。

质数的相反是合成数。复合数是一个正营养数，具有除一个或自身以外的至少一个正除数。

根据定义，数字1不是质数-它只有一个除数。

数字0不是质数-它不是正数并且具有无数个除数。

数字15的因数为1,3,5,15，因为：

15/1 = 15

15/3 = 5

15/5 = 3

15/15 = 1

因此15不是素数。

数字13只有两个除数1,13。

13/1 = 13

13/13 = 1

因此13是质数。

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质数最大为100的列表：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97， ...

0是质数吗？

数字0不是质数。

零不是正数，并且具有无限大的除数。

1是质数吗？

根据定义，数字1不是质数。

一种是只有一个除数-本身。

2是素数吗？

数字2是质数。

两个具有2个自然数除数-1和2：

2/1 = 2

2/2 = 1

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序言

1定義和例子

2算術基本定理

开关算術基本定理子章节

2.11是否為質數

3歷史

4素数的数目

开关素数的数目子章节

4.1歐幾里得的證明

4.2歐拉的解析證明

5測試質數與整數分解

开关測試質數與整數分解子章节

5.1試除法

5.2篩法

5.3質數測試與質數證明

5.4專用目的演算法與最大已知質數

5.5整數分解

6質數分佈

开关質數分佈子章节

6.1質數的公式

6.2一特定數以下的質數之數量

6.3等差數列

6.4二次多項式的質數值

7未解決的問題

开关未解決的問題子章节

7.1ζ函數與黎曼猜想

7.2其他猜想

8應用

开关應用子章节

8.1模一質數與有限體之運算

8.2其他數學裡出現的質數

8.3公開金鑰加密

8.4自然裡的質數

9推廣

开关推廣子章节

9.1環內的素元

9.2質理想

9.3賦值

10在藝術與文學裡

11另見

12註記

13參考資料

14外部連結

开关外部連結子章节

14.1質數產生器與計算器

开关目录

质数

136种语言

AfrikaansAlemannischAragonésÆngliscالعربيةالدارجةمصرىঅসমীয়াAsturianuAzərbaycancaتۆرکجهБашҡортсаŽemaitėškaБеларускаяБеларуская (тарашкевіца)БългарскиবাংলাBrezhonegBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschZazakiΕλληνικάEmiliàn e rumagnòlEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiVõroNa Vosa VakavitiFøroysktFrançaisNordfriiskGaeilge贛語Kriyòl gwiyannenGalegoગુજરાતીHawaiʻiעבריתहिन्दीHrvatskiHornjoserbsceKreyòl ayisyenMagyarՀայերենԱրեւմտահայերէնInterlinguaBahasa IndonesiaÍslenskaItaliano日本語PatoisLa .lojban.JawaქართულიҚазақшаភាសាខ្មែរಕನ್ನಡ한국어KurdîKernowekКыргызчаLatinaLëtzebuergeschLimburgsLombardLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംМонголमराठीBahasa MelayuMaltiမြန်မာဘာသာPlattdüütschनेपालीNederlandsNorsk nynorskNorsk bokmålOccitanଓଡ଼ିଆਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisپنجابیPortuguêsRomânăРусскийСаха тылаSicilianuSrpskohrvatski / српскохрватскиTaclḥitසිංහලSimple EnglishSlovenčinaSlovenščinaSoomaaligaShqipСрпски / srpskiSvenskaKiswahiliŚlůnskiதமிழ்తెలుగుТоҷикӣไทยTagalogTürkçeئۇيغۇرچە / UyghurcheУкраїнськаاردوOʻzbekcha / ўзбекчаVènetoVepsän kel’Tiếng ViệtWest-VlamsWalonWinaray吴语ХальмгייִדישYorùbáⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ文言Bân-lâm-gú粵語

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各种各样的数

基本

⊆

{\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正數

{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}

自然数

{\displaystyle \mathbb {N} }

正整數

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}

小数

有限小数

无限小数

循环小数

有理数

{\displaystyle \mathbb {Q} }

代數數

{\displaystyle \mathbb {A} }

实数

{\displaystyle \mathbb {R} }

複數

{\displaystyle \mathbb {C} }

高斯整數

[

]

{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

负数

−

{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}

整数

{\displaystyle \mathbb {Z} }

负整數

−

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}

分數

單位分數

二进分数

規矩數

無理數

超越數

虚数

{\displaystyle \mathbb {I} }

二次無理數

艾森斯坦整数

[

]

{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}

延伸

二元数

四元數

{\displaystyle \mathbb {H} }

八元数

{\displaystyle \mathbb {O} }

十六元數

{\displaystyle \mathbb {S} }

超實數

∗

{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }

大實數

上超實數

雙曲複數

雙複數

複四元數

共四元數（英语：Dual quaternion）

超复数

超數

超現實數

其他

質數

{\displaystyle \mathbb {P} }

可計算數

基數

阿列夫數

同餘

整數數列

公稱值

規矩數

可定义数

序数

超限数

p進數

数学常数

圓周率

3.14159265

{\displaystyle \pi =3.14159265}

…

自然對數的底

2.718281828

{\displaystyle e=2.718281828}

…

虛數單位

−

{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}

無限大

∞

{\displaystyle \infty }

查论编

質數（Prime number），又称素数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合数（也稱為合成數）。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。7是個質數，因為其正因數只有1與7。而4則是個合數，因為除了1與4外，2也是其正因數。6也是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算术基本定理確立了質數於数论裡的核心地位：任何大於1的整数均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解）。

古希臘數學家欧几里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中试除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為

{\displaystyle n}

，使用此方法者需逐一測試2與

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

之間的質數，確保它們無一能整除

{\displaystyle n}

。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如282589933-1是直至2018年12月為止已知最大的梅森質數[1]，也是直至2018年12月為止已知最大的質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，甚至研究質數分布時相當有力的篩法也會碰到奇偶性問題（也就是多種篩法都無法區別質數跟兩個質數相乘的合數的問題），但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或

{\displaystyle n}

的对数）。

許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代数裡，如質元素及質理想。

定義和例子[编辑]

一個自然數（如1、2、3、4、5、6等）若恰有兩個正因數（1及此數本身），則稱之為質數[2]。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。

數字12不是質數，因為將12以每4個分成1組，恰可分成3組（也有其他分法）。11則無法分成數量都大於1且都相同的各組，而都會有剩餘。因此，11為質數。

在數字1至6間，數字2、3與5為質數，1、4與6則不是質數。1不是質數，其理由見下文。2是質數，因為只有1與2可整除該數。接下來，3亦為質數，因為1與3可整除3，3除以2會餘1。因此，3為質數。不過，4是合數，因為2是另一個（除1與4外）可整除4的數：

4 = 2 · 2

5又是個質數：數字2、3與4均不能整除5。接下來，6會被2或3整除，因為

6 = 2 · 3

因此，6不是質數。右圖顯示12不是質數：12 = 3 · 4。不存在大於2的偶數為質數，因為依據定義，任何此類數字

{\displaystyle n}

均至少有三個不同的因數，即1、2與

{\displaystyle n}

。這意指

{\displaystyle n}

不是質數。因此，「奇質數」係指任何大於2的質數。類似地，當使用一般的十進位制時，所有大於5的質數，其尾數均為1、3、7或9，因為尾數0、2、4、6、8為2的倍數，尾數為0或5的數字為5的倍數。

若

{\displaystyle n}

為一自然數，則1與

{\displaystyle n}

會整除

{\displaystyle n}

。因此，質數的條件可重新敘述為：一個數字為質數，若該數大於1，且沒有

…

−

{\displaystyle 2,3,\ldots ,n-1}

會整除

{\displaystyle n}

。另一種敘述方式為：一數

{\displaystyle n>1}

為質數，若不能寫成兩個整數

{\displaystyle a}

與

{\displaystyle b}

的乘積，其中這兩數均大於1：

⋅

{\displaystyle n=a\cdot b}

換句話說，

{\displaystyle n}

為質數，若

{\displaystyle n}

無法分成數量都大於1且都相同的各組。

由所有質數組成之集合通常標記為P或

{\displaystyle \mathbb {P} }

。

前168個質數（所有小於1000的質數）為2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, ...（OEIS數列A000040）。

算術基本定理[编辑]

主条目：算術基本定理

質數對於數論與一般數學的重要性來自於「算術基本定理」。該定理指出，每個大於1的整數均可寫成一個以上的質數之乘積，且除了質因數的排序不同外是唯一的[3]。質數可被認為是自然數的「基本建材」，例如：

23244

= 2 · 2 · 3 · 13 · 149

= 22 · 3 · 13 · 149. （22表示2的平方或2次方。）

如同此例一般，相同的因數可能出現多次。一個數n的分解：

⋅

…

⋅

{\displaystyle n=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{t}}

成（有限多個）質因數

{\displaystyle p_{1}}

、

{\displaystyle p_{2}}

、……、

{\displaystyle p_{t}}

，稱之為

{\displaystyle n}

的「因數分解」。算術基本定理可以重新敘述為，任一質數分解除了因數的排序外，都是唯一的。因此，儘管實務上存在許多質數分解演算法來分解較大的數字，但最後都會得到相同的結果。

若

{\displaystyle p}

為質數，且

{\displaystyle p}

可整除整數的乘積

{\displaystyle ab}

，則

{\displaystyle p}

可整除

{\displaystyle a}

或可整除

{\displaystyle b}

。此一命題被稱為歐幾里得引理[4]，被用來證明質數分解的唯一性。

1是否為質數[编辑]

最早期的希臘人甚至不將1視為是一個數字[5]，因此不會認為1是質數。到了中世紀與文藝復興時期，許多數學家將1納入作為第一個質數[6]。到18世紀中期，克里斯蒂安·哥德巴赫在他與李昂哈德·歐拉著名的通信裡將1列為第一個質數，但歐拉不同意[7]。然而，到了19世紀，仍有許多數學家認為數字1是個質數。例如，德里克·諾曼·雷默（Derrick Norman Lehmer）在他那最大達10,006,721的質數列表[8]中，將1列為第1個質數[9]。昂利·勒貝格據說是最後一個稱1為質數的職業數學家[10]。到了20世紀初，數學家開始認為1不是個質數，但反而作為「單位」此一特殊類別[6]。

許多數學成果在稱1為質數時，仍將有效，但歐幾里何的算術基本定理（如上所述）則無法不重新敘述而仍然成立。例如，數字15可分解成3 · 5及 1 · 3 · 5；若1被允許為一個質數，則這兩個表示法將會被認為是將15分解至質數的不同方法，使得此一定理的陳述必須被修正。同樣地，若將1視為質數，埃拉托斯特尼篩法將無法正常運作：若將1視為質數，此一篩法將會排除掉所有1的倍數（即所有其他的數），只留下數字1。此外，質數有幾個1所沒有的性質，如歐拉函數的對應值，以及除數函數的總和[11][12]。

歷史[编辑]

埃拉托斯特尼篩法是個找出在一特定整數以下的所有質數之簡單演算法，由古希臘數學家埃拉托斯特尼於公元前3世紀發明。

在古埃及人的倖存紀錄中，有跡象顯示他們對質數已有部分認識：例如，在萊因德數學紙草書中的古埃及分數展開時，對質數與對合數有著完全不同的類型。不過，對質數有過具體研究的最早倖存紀錄來自古希臘。公元前300年左右的《幾何原本》包含與質數有關的重要定理，如有無限多個質數，以及算術基本定理。歐幾里得亦展示如何從梅森質數建構出完全數。埃拉托斯特尼提出的埃拉托斯特尼篩法是用來計算質數的一個簡單方法，雖然今天使用電腦發現的大質數無法使用這個方法找出。

希臘之後，到17世紀之前，質數的研究少有進展。1640年，皮埃爾·德·費馬敘述了費馬小定理（之後才被萊布尼茨與歐拉證明）。費馬亦推測，所有具

{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}

形式的數均為質數（稱之為費馬數），並驗證至

{\displaystyle n=4}

（即216 + 1）不過，後來由歐拉發現，下一個費馬數232 + 1即為合數，且實際上其他已知的費馬數都不是質數。法國修道士馬蘭·梅森發現有的質數具

−

{\displaystyle 2^{p}-1}

的形式，其中

{\displaystyle p}

為質數。為紀念他的貢獻，此類質數後來被稱為梅森質數。

歐拉在數論中的成果，許多與質數有關。他證明無窮級數

…

{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\ldots }

會發散。1747年，歐拉證明每個偶完全數都確實為

−

(

−

)

{\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

的形式，其中第二個因數為梅森質數。

19世紀初，勒壤得與高斯獨立推測，當

{\displaystyle x}

趨向無限大時，小於

{\displaystyle x}

的質數數量會趨近於

⁡

{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}

，其中

⁡

{\displaystyle \ln x}

為

{\displaystyle x}

的自然對數。黎曼於1859年有關ζ函數的論文（英语：On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中勾勒出一個程式，導出了質數定理的證明。其大綱由雅克·阿達馬與夏尔-让·德拉瓦莱·普桑所完成，他們於1896年獨立證明出質數定理。

證明一個大數是否為質數通常無法由試除法來達成。許多數學家已研究過大數的質數測試，通常侷限於特定的數字形式。其中包括費馬數的貝潘測試（英语：Pépin's test）（1877年）、普羅絲定理（約1878年）、盧卡斯-萊默質數判定法（1856年起）[13]及廣義盧卡斯質數測試（英语：Lucas primality test）。較近期的演算法，如APRT-CL（英语：Adleman–Pomerance–Rumely primality test）、ECPP（英语：Elliptic curve primality）及AKS等，均可作用於任意數字上，但仍慢上許多。

長期以來，質數被認為在純數學以外的地方只有極少數的應用[14]。到了1970年代，發明公共密鑰加密這個概念之後，情況改變了，質數變成了RSA加密演算法等一階演算法之基礎。

自1951年以來，所有已知最大的質數都由電腦所發現。對更大質數的搜尋已在數學界以外的地方產生出興趣。網際網路梅森質數大搜索及其他用來尋找大質數的分散式運算計畫變得流行，在數學家仍持續與質數理論奮鬥的同時。

素数的数目[编辑]

主条目：歐幾里得定理

存在無限多個質數。另一種說法為，質數序列

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

永遠不會結束。此一陳述被稱為「歐幾里得定理」，以古希臘數學家歐幾里得為名，因為他提出了該陳述的第一個證明。已知存在其他更多的證明，包括歐拉的分析證明、哥德巴赫依據費馬數的證明[15]、弗斯滕伯格使用一般拓撲學的證明[16]，以及庫默爾優雅的證明[17]。

歐幾里得的證明[编辑]

歐幾里得的證明[18]取任一個由質數所組成的有限集合

{\displaystyle S}

。該證明的關鍵想法為考慮

{\displaystyle S}

內所有質數相乘後加一的一個數字：

∏

∈

{\displaystyle N=1+\prod _{p\in S}p}

。

如同其他自然數一般，

{\displaystyle N}

可被至少一個質數整除（即使N本身為質數亦同）。

任何可整除N的質數都不可能是有限集合

{\displaystyle S}

內的元素（質數），因為後者除N都會餘1。所以，

{\displaystyle N}

可被其他質數所整除。因此，任一個由質數所組成的有限集合，都可以擴展為更大個由質數所組成之集合。

這個證明通常會被錯誤地描述為，歐幾里得一開始假定一個包含所有質數的集合，並導致矛盾；或者是，該集合恰好包含n個最小的質數，而不任意個由質數所組成之集合[19]。今日，

{\displaystyle n}

個最小質數相乘後加一的一個數字，被稱為第

{\displaystyle n}

個歐幾里得數。

歐拉的解析證明[编辑]

歐拉的證明使用到質數倒數的總和

(

)

⋯

{\displaystyle S(p)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}}

。

當

{\displaystyle p}

夠大時，該和會大於任意實數[20]。這可證明，存在無限多個質數，否則該和將只會增長至達到最大質數

{\displaystyle p}

為止。

(

)

{\displaystyle S(p)}

的增加率可使用梅滕斯第二定理來量化[21]。比較總和

⋯

∑

{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}}

當

{\displaystyle n}

趨向無限大時，此和不會變成無限大（見巴塞爾問題）。這意味著，質數比自然數的平方更常出現。布朗定理指出，孿生質數倒數的總和

(

)

(

)

(

)

⋯

∑

prime,

prime

(

)

{\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}p{\text{ prime, }}\\p+2{\text{ prime}}\end{smallmatrix}}{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)},}

是有限的。

測試質數與整數分解[编辑]

確認一個數

{\displaystyle n}

是否為質數有許多種方法。最基本的程序為試除法，但因為速率很慢，沒有什麼實際用處。有一類現代的質數測試可適用於任意數字之上，另有一類更有效率的測試方法，則只能適用於特定的數字之上。大多數此類方法只能辨別

{\displaystyle n}

是否為質數。也能給出

{\displaystyle n}

的一個（或全部）質因數之程序稱之為因數分解演算法。

試除法[编辑]

主条目：試除法

測試

{\displaystyle n}

是否為質數的最基本方法為試除法。此一程序將n除以每個大於1且小於等於

{\displaystyle n}

的平方根之整數

{\displaystyle m}

。若存在一個相除為整數的結果，則

{\displaystyle n}

不是質數；反之則是個質數。實際上，若

{\displaystyle n=ab}

是個合數（其中

{\displaystyle a}

與

≠

{\displaystyle b\neq 1}

），則其中一個因數

{\displaystyle a}

或

{\displaystyle b}

必定至大為

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

。例如，對

{\displaystyle n=37}

使用試除法，將37除以

{\displaystyle m=2,3,4,5,6}

，沒有一個數能整除37，因此37為質數。此一程序若能知道直至

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

的所有質數列表，則可以只檢查

{\displaystyle m}

為質數的狀況，以提升效率。例如，為檢查37是否為質數，只有3個相除是必要的（

{\displaystyle m=2,3,5}

），因為4與6為合數。

作為一個簡單的方法，試除法在測試大整數時很快地會變得不切實際，因為可能的因數數量會隨著n的增加而迅速增加。依據下文所述之質數定理，小於

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

的質數之數量約為

⁡

{\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{\ln {\sqrt {n}}}}}

，因此使用試除法測試

{\displaystyle n}

是否為質數時，大約會需要用到這麼多的數字。對

{\displaystyle n=10^{20}}

，此一數值約為4.5億，對許多實際應用而言都太過龐大。

篩法[编辑]

一個能給出某個數值以下的所有質數之演算法，稱之為質數篩法，可用於只使用質數的試除法內。最古老的一個例子為埃拉托斯特尼篩法（見上文），至今仍最常被使用。阿特金篩法為另外一例。在電腦出現之前，篩法曾被用來給出107以下的質數列表[22]。

質數測試與質數證明[编辑]

主条目：素性測試

現代測試一般的數字

{\displaystyle n}

是否為質數的方法可分成兩個主要類型，隨機（或「蒙特卡洛」）與確定性演算法。確定性演算法可肯定辨別一個數字是否為質數。例如，試除法即是個確定性演算法，因為若正確執行，該方法總是可以辨別一個質數為質數，一個合數為合數。隨機演算法一般比較快，但無法完全證明一個數是否為質數。這類測試依靠部分隨機的方法來測試一個給定的數字。例如，一測試在應用於質數時總是會通過，但在應用於合數時通過的機率為

{\displaystyle p}

。若重復這個測試

{\displaystyle n}

次，且每次都通過，則該數為合數的機率為

(

−

)

{\displaystyle {\frac {1}{(1-p)^{n}}}}

，會隨著測試次數呈指數下滑，因此可越來越確信（雖然總是無法完全確信）該數為質數。另一方面，若測試曾失敗過，則可知該數為合數。

隨機測試的一個特別簡單的例子為費馬質數判定法，使用到對任何整數

{\displaystyle a}

，

≡

(

mod

)

{\displaystyle n^{p}\equiv n(\mod p)}

，其中

{\displaystyle p}

為質數的這個事實（費馬小定理）。若想要測試一個數字

{\displaystyle b}

是否為質數，則可隨機選擇

{\displaystyle n}

來計算

(

mod

)

{\displaystyle n^{b}(\mod b)}

的值。這個測試的缺點在於，有些合數（卡邁克爾數）即使不是質數，也會符合費馬恆等式，因此這個測試無法辨別質數與卡邁克爾數，最小的三個卡邁克爾數為561，1105，1729。卡邁克爾數比質數還少上許多，所以這個測試在實際應用上還是有用的。費馬質數判定法更強大的延伸方法，包括貝利-PSW、米勒-拉賓與Solovay-Strassen質數測試，都保證至少在應用於合數時，有部分時候會失敗。

確定性演算法不會將合數錯誤判定為質數。在實務上，最快的此類方法為橢圓曲線質數證明。其運算時間是透過實務分析出來的，不像最新的AKS質數測試，有已被嚴格證明出來的複雜度。確定性演算法通常較隨機演算法來得慢，所以一般會先使用隨機演算法，再採用較費時的確定性演算法。

下面表格列出一些質數測試。運算時間以被測試的數字

{\displaystyle n}

來表示，並對隨機演算法，以

{\displaystyle k}

表示其測試次數。此外，

{\displaystyle \varepsilon }

是指一任意小的正數，

log

{\displaystyle \log }

是指一無特定基數的對數。大O符號表示，像是在橢圓曲線質數證明裡，所需之運算時間最長為一常數（與n無關，但會與ε有關）乘於log5+ε(n)。

測試

發明於

類型

運算時間

註記

AKS質數測試

2002

確定性

(

log

⁡

(

)

{\displaystyle O(\log ^{6+\varepsilon }(n))}

橢圓曲線質數證明

1977

確定性

(

log

⁡

(

)

{\displaystyle O(\log ^{5+\varepsilon }(n))}

「實務分析」

貝利-PSW質數測試

1980

隨機

(

log

⁡

)

{\displaystyle O(\log ^{3}n)}

無已知反例

米勒-拉賓質數判定法

1980

隨機

(

⋅

log

⁡

(

)

{\displaystyle O(k\cdot \log ^{2+\varepsilon }(n))}

錯誤機率

−

{\displaystyle 4^{-k}}

Solovay-Strassen質數

1977

隨機

(

⋅

log

⁡

)

{\displaystyle O(k\cdot \log ^{3}n)}

錯誤機率

−

{\displaystyle 2^{-k}}

費馬質數判定法

隨機

(

⋅

log

⁡

(

)

{\displaystyle O(k\cdot \log ^{2+\varepsilon }(n))}

遇到卡邁克爾數時會失敗

專用目的演算法與最大已知質數[编辑]

更多信息：質數列表

建構正五邊形。5是個費馬質數。

除了前述可應用於任何自然數n之上的測試外，一些更有效率的質數測試適用於特定數字之上。例如，盧卡斯質數測試需要知道n − 1的質因數，而盧卡斯-萊默質數測試則需要以n + 1的質因數作為輸入。例如，這些測試可應用在檢查

n! ± 1 = 1 · 2 · 3 · ... · n ± 1

是否為一質數。此類形式的質數稱之為階乘質數。其他具p+1或p-1之類形式的質數還包括索菲·熱爾曼質數（具2p+1形式的質數，其中p為質數）、質數階乘質數、費馬質數與梅森質數（具2p − 1形式的質數，其中p為質數）。盧卡斯-雷默質數測試對這類形式的數特別地快。這也是為何自電腦出現以來，最大已知質數總會是梅森質數的原因。

費馬質數具下列形式

Fk = 22k + 1,

其中，k為任意自然數。費馬質數以皮埃爾·德·費馬為名，他猜想此類數字Fk均為質數。費馬認為Fk均為質數的理由為此串列的前5個數字（3、5、17、257及65537）為質數。不過，F5卻為合數，且直至2015年發現的其他費馬數字也全都是合數。一個正n邊形可用尺規作圖，若且唯若

n = 2i · m

其中，m為任意個不同費馬質數之乘積，及i為任一自然數，包括0。

下列表格給出各種形式的最大已知質數。有些質數使用分散式計算找到。2009年，網際網路梅森質數大搜索因為第一個發現具至少1,000萬個數位的質數，而獲得10萬美元的獎金[23]。電子前哨基金會亦為具至少1億個數位及10億個數位的質數分別提供15萬美元及25萬美元的獎金[24]。

類型

質數

數位

日期

發現者

梅森質數

282589933 − 1

23,249,425

2018年12月21日

網際網路梅森質數大搜索

非梅森質數（普羅斯數）

19,249×213,018,586 + 1

3,918,990

2007年3月26日

十七或者破產

階乘質數

150209! + 1

712,355

2011年10月

PrimeGrid[25]

質數階乘質數

1098133# - 1

476,311

2012年3月

PrimeGrid[26]

孿生質數s

3756801695685×2666669 ± 1

200,700

2011年12月

PrimeGrid[27]

整數分解[编辑]

主条目：整數分解

給定一合數n，給出一個（或全部）質因數的工作稱之為n的因數分解。橢圓曲線分解是一個依靠橢圓曲線上的運算來分解質因數的演算法。

質數分佈[编辑]

1975年，數論學家唐·察吉爾評論質數

像生長於自然數間的雜草，似乎不服從機率之外的法則，（但又）表現出驚人的規律性，並有規範其行為之法則，且以軍事化的精準度遵守著這些法則[28]。

大質數的分佈，如在一給定數值以下有多少質數這個問題，可由質數定理所描述；但有效描述第n個質數的公式則仍未找到。

存在任意長的連續非質數數列，如對每個正整數

{\displaystyle n}

，從

(

)

{\displaystyle (n+1)!+2}

至

(

)

{\displaystyle (n+1)!+n+1}

的

{\displaystyle n}

個連續正整數都會是合數（因為若

{\displaystyle k}

為2至

{\displaystyle n+1}

間的一整數，

(

)

{\displaystyle (n+1)!+k}

就可被k整除）。

狄利克雷定理表示，取兩個互質的整數a與b，其線性多項式

(

)

{\displaystyle p(n)=a+bn\,}

會有無限多個質數值。該定理亦表示，這些質數值的倒數和會發散，且具有相同b的不同多項式會有差不多相同的質數比例。

有關二次多項式的相關問題則尚無較好之理解。

質數的公式[编辑]

主条目：質數公式

對於質數，還沒有一個已知的有效公式。例如，米爾斯定理與賴特所提的一個定理表示，存在實常數A>1與μ，使得

⌊

⌋

and

⌊

…

⌋

{\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\dots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }

對任何自然數n而言，均為質數。其中，

⌊

−

⌋

{\displaystyle \lfloor -\rfloor }

為高斯符號，表示不大於符號內數字的最大整數。第二個公式可使用伯特蘭-切比雪夫定理得證（由切比雪夫第一個證得）。該定理表示，總是存在至少一個質數p，使得 n < p < 2n − 2，其中n為大於3的任一自然數。第一個公式可由威爾遜定理導出，每個不同的n會對應到不同的質數，除了數字2會有多個n對應到外。不過，這兩個公式都需要先計算出A或μ的值來[29]。

不存在一個只會產生質數值的非常數多項式，即使該多項式有許多個變數。不過，存在具9個變數的丟番圖方程，其參數具備以下性質：該參數為質數，若且唯若其方程組有自然數解。這可被用來獲得其所有「正值」均為質數的一個公式[30]。

一特定數以下的質數之數量[编辑]

主条目：質數定理和質數計算函數

圖中的曲線分別表示π(n)（藍）、n / ln (n)（綠）與Li(n)（紅）。

質數計算函數π(n)被定義為不大於n的質數之數量。例如，π(11) = 5，因為有5個質數小於或等於11。已知有演算法可比去計算每個不大於n的質數更快的速率去計算π(n)的值。質數定理表示，π(n)的可由下列公式近似給出：

(

)

≈

⁡

{\displaystyle \pi (n)\approx {\frac {n}{\ln n}},}

亦即，π(n)與等式右邊的值在n趨近於無限大時，會趨近於1。這表示，小於n的數字為質數的可能性（大約）與n的數位呈正比。對π(n)更精確的描述可由對數積分給出：

⁡

(

)

∫

⁡

{\displaystyle \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\ln t}}}

。

質數定理亦薀涵著對第n個質數pn（如p1 = 2、p2 = 3等）的大小之估算：當數字大到某一程度時，pn的值會變得約略為n log(n)[31]。特別的是，質數間隙，即兩個連續質數pn與pn+1間的差會變得任意地大。後者可由數列 n! + 2, n! + 3,…, n! + n（其中n為任一自然數）看出。

等差數列[编辑]

等差数列是指由被一固定數（模）q除後會得到同一餘數的自然數所組成之集合。例如：

3, 12, 21, 30, 39, ...,

是一個等差數列，模q = 9。除了3以外，其中沒有一個數會是質數，因為3 + 9n = 3(1 + 3n)，所以此一數列裡的其他數字均為合數。（一般來所有大於q的質數都具有q#·n + m的形式，其中0 < m < q#，且m沒有不大於q的質因數。）因此，數列

a, a + q, a + 2q, a + 3q,…

只在a與q 互質（其最大公因數為1）之時，可以有無限多個質數。若滿足此一必要條件，狄利克雷定理表示，該數列含有無限多個質數。下圖描述q = 9時的情形：數字每遇到9的倍數就會再再由下往上纏一次。質數以紅底標記。行（數列）開始於a = 3, 6, 9者至多只包含一個質數。其他行（a = 1, 2, 4, 5, 7, 8）則均包含無限多個質數。更甚之，質數以長期來看，會均勻分佈於各行之中，亦即每個質數模9會與6個數其中一數同餘的機率均為1/6。

質數（以紅底標計）在模9的等差數列中。

格林-陶定理證明，存在由任意多個質數組成的等差數列[32]。一個奇質數p可表示成兩個平方數之和p = x2 + y2，若且唯若p同餘於1模4（费马平方和定理）。

二次多項式的質數值[编辑]

烏嵐螺旋。紅點表示質數。具4n2 − 2n + 41形式的質數則以藍點標記。

歐拉指出函數

{\displaystyle n^{2}+n+41\,}

於　0 ≤ n < 40時會給出質數[33][34]，此一事實導致了艱深的代數數論，或更具體地說為黑格納數。當n更大時，該函數會給出合數值。哈代- 李特伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）能給出一個有關具整數係數a、b與c的二次多項式

(

)

{\displaystyle f(n)=ax^{2}+bx+c\,}

的值為質數之機率的一個漸近預測，並能以對數積分Li(n)及係數a、b、c來表示。不過，該程式已被證實難以取得：仍未知是否存在一個二次多項式（a ≠ 0）能給出無限多個質數。烏嵐螺旋將所有自然數以螺旋的方法描繪。令人驚訝的是，質數會群聚在某些對角線上，表示有些二次多項式會比其他二次多項式給出更多個質數值來。

未解決的問題[编辑]

ζ函數與黎曼猜想[编辑]

主条目：黎曼猜想

ζ函數ζ(s)的圖。在s=1時，該函數會有極點，亦即會趨近於無限大。

黎曼ζ函數ζ(s)被定義為一無窮級數

(

)

∑

∞

{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}

其中，s為實數部分大於1的一個複數。由算術基本定理可證得，該級數會等於下面的無窮乘積

∏

prime

−

{\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}

。

ζ函數與質數密切相關。例如，存在無限多個質數這個事實也可以使用ζ函數看出：若只有有限多個質數，則ζ(1)將會是個有限值。不過，調和級數1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...會發散，所以必須有無限多個質數。另一個能看見ζ函數的豐富性，並一瞥現代代數數論的例子為下面的恆等式（巴塞爾問題，由歐拉給出）：

(

)

∏

−

{\displaystyle \zeta (2)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

。

ζ(2)的倒數6/π2，是兩個隨機選定的數字會互質的機率[35][36]。

未被證明的「黎曼猜想」，於1859年提出，表示除s = −2, −4, ...,外，ζ函數所有的根，其實數部分均為1/2。此一猜想與質數間的關連在於，該猜想實際上是在說，質數在正整數中出現頻率和統計學的隨機不同；若假設為真，質數計算函數便可有效掌握，在大數時不再需要近似求值。從物理的觀點來看，這大約是在說，質數分佈的不規則性僅來自於隨機的雜訊。從數學的觀點來看，則大約是在說，質數的漸近分佈（質數定理表示小於x的質數約有x/log x個）在x周圍的區間內，於區間長度遠小於x的平方根時亦成立。此一猜想一般認為是正確的。

其他猜想[编辑]

更多信息：分類:素數猜想

除了黎曼猜想之外，還有許多其他的猜想存在。雖然這些猜想的陳述大多很簡單，但許多猜想經過了數十年仍提不出證明，如4個蘭道問題，從1912年提出至今仍然未解。其中一個為哥德巴赫猜想，該猜想認為每個大於2的偶數n都可表示成兩個質數之和。至於2011年2月，這個猜想對最大達n = 2 · 1017的所有數字都會成立[37]。較弱形式的哥德巴赫猜想已被證明，如維諾格拉多夫定理，該定理表示每個足夠大的奇數都可表示成三個質數之和。陈氏定理表示，每個足夠大的偶數都可表示成一個質數與一個半質數（兩個質數的乘積）之和。此外，任一個偶數均可寫成六個質數之和[38]。數論研究這些問題的分支稱之為加法數論。反哥德巴赫猜想，所有的正偶數n都可以表示成兩個質數之差，但此猜想可由波利尼亞克猜想類推證明。

其他猜想處理是否有無限多個具某些限制的質數這類問題。據猜想，存在無限多個費波那契質數[39]與無限多個梅森質數，但沒有無限多個費馬質數[40]。還不知道是否存在無限多個維費里希質數與歐幾里得質數。

第三種類型的猜想涉及到質數的分佈情形。據猜想，存在無限多對孿生質數，即有無限多對相差2的質數（孿生質數猜想）。波利尼亞克猜想（英语：Polignac's conjecture）是比孿生質數猜想更強的一個猜想，該猜想表示存在無限多對相差2n的連續質數[41]。據猜想，存在無限多個具n2 + 1形式的質數[42]。上述猜想都是申策爾猜想的特例。布羅卡猜想表示，在兩個大於2的連續質數之平方數之間，總是會有至少4個質數。勒讓德猜想表示，對每個正整數n，n2與(n + 1)2間總會存在一個質數。克拉梅爾猜想可導出勒讓德猜想。

應用[编辑]

長期以來，數論，尤其是對質數的研究，一般都會被認為是典型的純數學，除了求知的趣味之外，沒有其他應用。特別是，一些數論學家，如英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代即對其工作絕對不會有任何在軍事上的重大性感到自豪[43]。然而，此一觀點在1970年代時遭到粉碎，當質數被公開宣布可以作為產生公鑰加密演算法的基礎之時。質數現在也被用在雜湊表與偽亂數產生器（英语：Pseudo-random number generator）裡。

旋轉機被設計成在每個轉片上有不同數目的銷，在每個轉片上的銷的數量都會是質數，亦或是會與其他轉片上的銷的數量互質。這有助於在重復所有的組合之前，讓所有轉片的可能組合都能出現過一次。[來源請求]

國際標準書號的最後一碼為校驗碼，其演算法使用到了11是個質數的這個事實[來源請求]。

在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒輪齒数最好設計成素数，以增加兩齒輪內兩個相同的齒相遇嚙合次数的最小公倍数，可增強耐用度減少故障。

在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關係上，殺蟲劑的素数次数的使用也得到了證明。實驗表明，素数次数地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難産生抗藥性[來源請求]。

以素数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截[來源請求]。

模一質數與有限體之運算[编辑]

主条目：模運算

「模運算」使用下列數字修改了一般的運算

{

…

−

}

{\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\},\,}

其中n是個固定的自然數，稱之為「模」。計算加法、減法及乘法都與一般的運算一樣，不過負數或大於n − 1的數字出現時，會被除以n所得的餘數取代。例如，對n=7，3+5為1，而不是8，因為8除以7餘1。這通常念為「3+5同餘於1模7」，並標記為

≡

(

mod

)

{\displaystyle 3+5\equiv 1{\pmod {7}}}

。

同樣地，6 + 1 ≡ 0 (mod 7)、2 - 5 ≡ 4 (mod 7)，因為 -3 + 7 = 4，以及3 · 4 ≡ 5 (mod 7)，因為12除以7餘5。加法與乘法在整數裡常見的標準性質在模運算裡也依然有效。使用抽象代數的說法，由上述整數所組成之集合，亦標記為Z/nZ，且因此為一可交換環。不過，除法在模運算裡不一定都是可行的。例如，對n=6，方程

⋅

≡

(

mod

)

{\displaystyle 3\cdot x\equiv 2{\pmod {6}},}

的解x會類比於2/3，無解，亦可透過計算3 · 0、...、3 · 5模6看出。不過，有關質數的不同性質如下：除法在模運算裡是可行的，若且唯若n為質數。等價地說，n為質數，若且唯若所有滿足2 ≤ m ≤ n − 1的整數m都會與n 互質，亦即其公因數只有1。實際上，對n=7，方程

⋅

≡

(

mod

⁡

)

{\displaystyle 3\cdot x\equiv 2\ \ (\operatorname {mod} \ 7),}

會有唯一的解x = 3。因此，對任何質數p，Z/pZ（亦標記為Fp）也會是個體，或更具體地說，是個有限體，因為該集合包含有限多（即p）個元素。

許多定理可以透過從此一抽象的方式檢查Fp而導出。例如，費馬小定理表示

−

≡

(

mod

⁡

)

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1(\operatorname {mod} \ p)}

，其中a為任一不被p整除的整數。該定理即可使用這些概念證得。這意味著

∑

−

≡

(

−

)

⋅

≡

−

(

mod

)

{\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}}}

。

吾鄉-朱加猜想表示，上述公式亦是p為質數的必要條件。另一個費馬小定理的推論如下：若p為2與5之外的其他質數，1/p總是個循環小數，其週期為p − 1或p − 1的因數。分數1/p依q（10以外的整數）為基底表示亦有類似的效果，只要p不是q的質因數的話。威爾遜定理表示，整數p > 1為質數，若且唯若階乘 (p − 1)! + 1可被p整除。此外，整數n > 4為合數，若且唯若 (n − 1)!可被n整除。

其他數學裡出現的質數[编辑]

許多數學領域裡會大量使用到質數。舉有限群的理論為例，西羅定理即是一例。該定理表示，若G是個有限群，且pn為質數p可整除G的階的最大冪次，則G會有個pn階的子群。此外，任意質數階的群均為循環群（拉格朗日定理）。

公開金鑰加密[编辑]

主条目：公開金鑰加密

幾個公開金鑰加密演算法，如RSA與迪菲－赫爾曼金鑰交換，都是以大質數為其基礎（如512位元的質數常被用於RSA裡，而1024位元的質數則一般被迪菲-赫爾曼金鑰交換所採用）。RSA依靠計算出兩個（大）質數的相乘會比找出相乘後的數的兩個質因數容易出許多這個假設。迪菲－赫爾曼金鑰交換依靠存在模冪次的有效演算法，但相反運算的離散對數仍被認為是個困難的問題此一事實。

自然裡的質數[编辑]

周期蟬屬裡的蟬在其演化策略上使用到質數[44]。蟬會在地底下以幼蟲的形態度過其一生中的大部分時間。周期蟬只會在7年、13年或17年後化蛹，然後從洞穴裡出現、飛行、交配、產卵，並在至多數週後死亡。此一演化策略的原因據信是因為若出現的週期為質數年，掠食者就很難演化成以周期蟬為主食的動物[45]。若周期蟬出現的週期為非質數年，如12年，則每2年、3年、4年、6年或12年出現一次的掠食者就一定遇得到周期蟬。經過200年以後，假設14年與15年出現一次的周期蟬，其掠食者的平均數量，會比13年與17年出現一次的周期蟬，高出2%[46]。雖然相差不大，此一優勢似乎已足夠驅動天擇，選擇具質數年生命週期的這些昆蟲。

據猜測，ζ函數的根與複數量子系統的能階有關[47]。

推廣[编辑]

質數的概念是如此的重要，以致此一概念被以不同方式推廣至數學的不同領域裡去。通常，「質」（prime）可在適當的意義下，用來表示具有最小性或不可分解性。例如，質體是指一個包含0與1的體F的最小子體。質體必為有理數或具有p個元素的有限體，這也是其名稱的緣由[48]。若任一物件基本上均可唯一地分解成較小的部分，則這些較小的部分也會用「質」這個字來形容。例如，在紐結理論裡，質紐結是指不可分解的紐結，亦即該紐結不可寫成兩個非平凡紐結的連通和。任一紐結均可唯一地表示為質紐約的連通和[49]。質模型與三維質流形亦為此類型的例子。

環內的素元[编辑]

主条目：素元和不可約元素

質數應用於任一可交換環R（具加法、減法與乘法的代數結構）的元素，可產生兩個更為一般的概念：「素元」與「不可約元素」。R的元素稱為素元，若該元素不為0或單位元素，且給定R內的元素x與y，若p可除以xy，則p可除以x或y。一元素稱為不可約元素，若該元素不為單位元素，且無法寫成兩個不是單位元素之環元素的乘積。在整數環Z裡，由素元所組成的集合等於由不可約元素所組成的集合，為

{

…

−

…

}

{\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,}

。

在任一環R裡，每個素元都是不可約元素。反之不一定成立，但在唯一分解整環裡會成立。

算術基本定理在唯一分解整環裡仍然成立。此類整環的一個例子為高斯整數Z[i]，由具a + bi（其中a與b為任意整數）形式的複數所組成之集合。其素元稱之為「高斯質數」。不是所有的質數都是高斯質數：在這個較大的環Z[i]之中，2可被分解成兩個高斯質數 (1 + i)與 (1 - i)之乘積。有理質數（即在有理數裡的素元），具4k+3形式者為高斯素數；具4k+1形式者則不是。

質理想[编辑]

主条目：質理想

在環論裡，數的概念一般被理想所取代。「質理想」廣義化了質元素的概念，為由質元素產生的主理想，是在交換代數、代數數論與代數幾何裡的重要工具與研究對象。整數環的質理想為理想 (0)、(2)、(3)、(5)、(7)、(11)、…算術基本定理被廣義化成準素分解，可將每個在可交換諾特環裡的理想表示成準素理想（為質數冪次的一適合廣義化）的交集[50]。

透過環的譜這個概念，質理想成為代數幾何物件的點[51]。算術幾何也受益於這個概念，且許多概念會同時存在於幾何與數論之內。例如，對一擴張體的質理想分解（這是代數數論裡的一個基本問題），與幾何裡的分歧具有某些相似之處。此類分歧問題甚至在只關注整數的數論問題裡也會出現。例如，二次體的整數環內的質理想可被用來證明二次互反律。二次互反律討論下面二次方程

≡

(

mod

)

{\displaystyle x^{2}\equiv p\ \ ({\text{mod }}q),\,}

是否有整數解，其中x為整數，p與q為（一般）質數[52]。早期對費馬最後定理證明之嘗試，於恩斯特·庫默爾引入正則素數後達到了高潮。正則質數是指無法在由下列式子（其中a0、…、ap−1為整數，ζ則是能使ζp = 1的複數）

⋯

−

{\displaystyle a_{0}+a_{1}\zeta +\cdots +a_{p-1}\zeta ^{p-1}\,,}

組成的環裡，使得唯一分解定理失效的質數[53]。

賦值[编辑]

賦值理論研究由一個體K映射至實數R的某個函數（稱之為賦值）[54]。每個此類賦值都能給出一個 K上的拓撲，且兩個賦值被稱為等價，若兩者有相同拓撲。K的質數為一賦值的等價類。例如，一個有理數q的p進賦值被定義為整數vp(q)，使得

(

)

{\displaystyle q=p^{v_{p}(q)}{\frac {r}{s}},}

其中r與s不被p所整除。例如，v3(18/7) = 2。p進範數被定義為[nb 1]

−

(

)

{\displaystyle \left|q\right|_{p}:=p^{-v_{p}(q)}.\,}

特別的是，當一個數字乘上p時，其範數會變小，與一般的絕對賦值（亦稱為無限質數）形成明顯的對比。當透過絕對賦值完備有理數會得出由實數所組成的體，透過p進範數完備有理數則會得出由p進數所組成的體[55]。實際上，依據奧斯特洛夫斯基定理，上述兩種方法是完備有理數的所有方法。一些與有理數或更一般化之大域體有關的算術問題，可能可以被轉換至完備（或局部）體上。此一局部-全域原則再次地強調了質數對於數論的重要性。

在藝術與文學裡[编辑]

質數也影響了許多的藝術家與作家。法國作曲家奧立佛·梅湘使用質數創造出無節拍音樂。在《La Nativite du Seigneur》與《Quatre etudes de rythme》等作品裡，梅湘同時採用由不同質數給定之長度的基調，創造出不可預測的節奏：第三個練習曲《Neumes rythmiques》中出現了質數41、43、47及53。據梅湘所述，此類作曲方式是「由自然的運動，自由且不均勻的持續運動中獲得的靈感」[56]。

NASA科學家卡爾·薩根在他的科幻小說《接觸未來》（Contact）裡，認為質數可作為與外星人溝通的一種方式。這種想法是他與美國天文學家法蘭克·德雷克於1975年閒聊時形成的[57]。

許多電影，如《異次元殺陣》（Cube）、《神鬼尖兵》（Sneakers）、《越愛越美麗》（The Mirror Has Two Faces）及《美麗境界》（A Beautiful Mind），均反映出大眾對質數與密碼學之神秘的迷戀[58]。保羅·裘唐諾所著的小說《質數的孤獨》（The Solitude of Prime Numbers）裡，質數被用來比喻寂寞與孤獨，被描述成整數之間的「局外人」[來源請求]。

荒木飛呂彥所創作的日本漫畫《JoJo的奇妙冒險》第六部《石之海》的反派普奇神父喜歡數質數，他認為質數是孤獨的數字，並透過數質數安撫他緊張的情緒。

另見[编辑]

阿德曼-波門倫斯-魯梅利質數測試

Bonse不等式

布朗篩法

伯恩賽德定理

契博塔耶夫密度定理

中國餘數定理

卡倫數

非法質數

質數列表

梅森質數

可乘數論

普通數域篩選法

貝潘測試

實際數

質k元組

自由黎曼氣體

二次剩餘問題

RSA數

光滑數

超質數

胡道爾數

幸运素数

素数判定法则

埃拉托斯特尼筛法

孪生素数

三胞胎素数

PrimeGrid

GIMPS

質數大富豪

註記[编辑]

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−

(

)

{\displaystyle \left|q\right|_{p}:=e^{-v_{p}(q)}.\,}

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Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016

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Hua, L.K., Additive Theory of Prime Numbers, Translations of Mathematical Monographs 13, Providence, RI: American Mathematical Society: 176–177, 2009 [1965], ISBN 978-0821849422, MR 0194404, OCLC 824812353

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外部連結[编辑]

查看维基词典中的词条「质数」。

維基教科書中的相關電子教程：小学数学/质数与合数

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Caldwell, Chris, The Prime Pages at primes.utm.edu（页面存档备份，存于互联网档案馆）.

Prime Numbers，In Our Time (BBC Radio 4)（英语：BBC Radio 4）的《In Our Time》節目。

An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier（页面存档备份，存于互联网档案馆）

Plus teacher and student package: prime numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆） from Plus, the free online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge.

出現質數實驗（页面存档备份，存于互联网档案馆）

出現可以被整除的機率

質數產生器與計算器[编辑]

Prime Number Checker （页面存档备份，存于互联网档案馆） identifies the smallest prime factor of a number.

Fast Online primality test with factorization（页面存档备份，存于互联网档案馆） makes use of the Elliptic Curve Method (up to thousand-digits numbers, requires Java).

Huge database of prime numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）

Prime Numbers up to 1 trillion （页面存档备份，存于互联网档案馆）

素数发生器和校验器（页面存档备份，存于互联网档案馆）

查论编和因數有關的整數分類簡介

質因數分解

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質因數

算术基本定理

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超過剩數

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和真因子和數列有關

不可及数

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其他

亏数

友誼數

孤獨數

卓越数

歐爾調和數

佩服數

節儉數

等數位數

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规范控制

BNF: cb11932592t (data)

FAST: 1041241

GND: 4047263-2

J9U: 987007538747905171

LCCN: sh85093218

LNB: 000232578

NDL: 00571462

NKC: ph139050

取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=质数&oldid=80711832”

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1定义和例子

2算术基本定理

开关算术基本定理子章节

2.11是否为素数

3历史

4素数的数目

开关素数的数目子章节

4.1欧几里得的证明

4.2欧拉的解析证明

5测试素数与整数分解

开关测试素数与整数分解子章节

5.1试除法

5.2筛法

5.3素性测试与素数证明

5.4专用目的算法与最大已知素数

5.5整数分解

6素数分布

开关素数分布子章节

6.1素数的公式

6.2一特定数以下的素数之数量

6.3等差数列

6.4二次多项式的素数值

7未解决的问题

开关未解决的问题子章节

7.1ζ函数与黎曼猜想

7.2其他猜想

8应用

开关应用子章节

8.1模一素数与有限域之运算

8.2其他数学里出现的素数

8.3公开金钥加密

8.4自然里的素数

9推广

开关推广子章节

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9.2素理想

9.3赋值

10在艺术与文学里

11另见

12注记

13参考资料

14外部链接

开关外部链接子章节

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各种各样的数

基本

⊆

{\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正数

{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}

自然数

{\displaystyle \mathbb {N} }

正整数

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}

小数

有限小数

无限小数

循环小数

有理数

{\displaystyle \mathbb {Q} }

代数数

{\displaystyle \mathbb {A} }

实数

{\displaystyle \mathbb {R} }

复数

{\displaystyle \mathbb {C} }

高斯整数

[

]

{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

负数

−

{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}

整数

{\displaystyle \mathbb {Z} }

负整数

−

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}

分数

单位分数

二进分数

规矩数

无理数

超越数

虚数

{\displaystyle \mathbb {I} }

二次无理数

艾森斯坦整数

[

]

{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}

延伸

二元数

四元数

{\displaystyle \mathbb {H} }

八元数

{\displaystyle \mathbb {O} }

十六元数

{\displaystyle \mathbb {S} }

超实数

∗

{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }

大实数

上超实数

双曲复数

双复数

复四元数

共四元数（英语：Dual quaternion）

超复数

超数

超现实数

其他

素数

{\displaystyle \mathbb {P} }

可计算数

基数

阿列夫数

同余

整数数列

公称值

规矩数

可定义数

序数

超限数

p进数

数学常数

圆周率

3.14159265

{\displaystyle \pi =3.14159265}

…

自然对数的底

2.718281828

{\displaystyle e=2.718281828}

…

虚数单位

−

{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}

无限大

∞

{\displaystyle \infty }

查论编

质数（Prime number），又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。大于1的自然数若不是素数，则称之为合数（也称为合成数）。例如，5是个素数，因为其正约数只有1与5。7是个素数，因为其正约数只有1与7。而4则是个合数，因为除了1与4外，2也是其正约数。6也是个合数，因为除了1与6外，2与3也是其正约数。算术基本定理确立了素数于数论里的核心地位：任何大于1的整数均可被表示成一串唯一素数之乘积。为了确保该定理的唯一性，1被定义为不是素数，因为在因式分解中可以有任意多个1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效约数分解）。

古希腊数学家欧几里得于公元前300年前后证明有无限多个素数存在（欧几里得定理）。现时人们已发现多种验证素数的方法。其中试除法比较简单，但需时较长：设被测试的自然数为

{\displaystyle n}

，使用此方法者需逐一测试2与

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

之间的素数，确保它们无一能整除

{\displaystyle n}

。对于较大或一些具特别形式（如梅森数）的自然数，人们通常使用较有效率的算法测试其是否为素数（例如282589933-1是直至2018年12月为止已知最大的梅森素数[1]，也是直至2018年12月为止已知最大的素数）。虽然人们仍未发现可以完全区别素数与合数的公式，甚至研究素数分布时相当有力的筛法也会碰到奇偶性问题（也就是多种筛法都无法区别素数跟两个素数相乘的合数的问题），但已建构了素数的分布模式（亦即素数在大数时的统计模式）。19世纪晚期得到证明的素数定理指出：一个任意自然数n为素数的概率反比于其数位（或

{\displaystyle n}

的对数）。

许多有关素数的问题依然未解，如哥德巴赫猜想（每个大于2的偶数可表示成两个素数之和）及孪生素数猜想（存在无穷多对相差2的素数）。这些问题促进了数论各个分支的发展，主要在于数字的解析或代数方面。素数被用于资讯科技里的几个程序中，如公钥加密利用了难以将大数分解成其素因数之类的性质。素数亦在其他数学领域里形成了各种广义化的素数概念，主要出现在代数里，如素元及素理想。

定义和例子[编辑]

一个自然数（如1、2、3、4、5、6等）若恰有两个正约数（1及此数本身），则称之为素数[2]。大于1的自然数若不是素数，则称之为合数。

数字12不是素数，因为将12以每4个分成1组，恰可分成3组（也有其他分法）。11则无法分成数量都大于1且都相同的各组，而都会有剩余。因此，11为素数。

在数字1至6间，数字2、3与5为素数，1、4与6则不是素数。1不是素数，其理由见下文。2是素数，因为只有1与2可整除该数。接下来，3亦为素数，因为1与3可整除3，3除以2会余1。因此，3为素数。不过，4是合数，因为2是另一个（除1与4外）可整除4的数：

4 = 2 · 2

5又是个素数：数字2、3与4均不能整除5。接下来，6会被2或3整除，因为

6 = 2 · 3

因此，6不是素数。右图显示12不是素数：12 = 3 · 4。不存在大于2的偶数为素数，因为依据定义，任何此类数字

{\displaystyle n}

均至少有三个不同的约数，即1、2与

{\displaystyle n}

。这意指

{\displaystyle n}

不是素数。因此，“奇素数”系指任何大于2的素数。类似地，当使用一般的十进位制时，所有大于5的素数，其尾数均为1、3、7或9，因为尾数0、2、4、6、8为2的倍数，尾数为0或5的数字为5的倍数。

若

{\displaystyle n}

为一自然数，则1与

{\displaystyle n}

会整除

{\displaystyle n}

。因此，素数的条件可重新叙述为：一个数字为素数，若该数大于1，且没有

…

−

{\displaystyle 2,3,\ldots ,n-1}

会整除

{\displaystyle n}

。另一种叙述方式为：一数

{\displaystyle n>1}

为素数，若不能写成两个整数

{\displaystyle a}

与

{\displaystyle b}

的乘积，其中这两数均大于1：

⋅

{\displaystyle n=a\cdot b}

换句话说，

{\displaystyle n}

为素数，若

{\displaystyle n}

无法分成数量都大于1且都相同的各组。

由所有素数组成之集合通常标记为P或

{\displaystyle \mathbb {P} }

。

前168个素数（所有小于1000的素数）为2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, ...（OEIS数列A000040）。

算术基本定理[编辑]

主条目：算术基本定理

素数对于数论与一般数学的重要性来自于“算术基本定理”。该定理指出，每个大于1的整数均可写成一个以上的素数之乘积，且除了质约数的排序不同外是唯一的[3]。素数可被认为是自然数的“基本建材”，例如：

23244

= 2 · 2 · 3 · 13 · 149

= 22 · 3 · 13 · 149. （22表示2的平方或2次方。）

如同此例一般，相同的约数可能出现多次。一个数n的分解：

⋅

…

⋅

{\displaystyle n=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{t}}

成（有限多个）素因数

{\displaystyle p_{1}}

、

{\displaystyle p_{2}}

、……、

{\displaystyle p_{t}}

，称之为

{\displaystyle n}

的“约数分解”。算术基本定理可以重新叙述为，任一素数分解除了约数的排序外，都是唯一的。因此，尽管实务上存在许多素数分解算法来分解较大的数字，但最后都会得到相同的结果。

若

{\displaystyle p}

为素数，且

{\displaystyle p}

可整除整数的乘积

{\displaystyle ab}

，则

{\displaystyle p}

可整除

{\displaystyle a}

或可整除

{\displaystyle b}

。此一命题被称为欧几里得引理[4]，被用来证明素数分解的唯一性。

1是否为素数[编辑]

最早期的希腊人甚至不将1视为是一个数字[5]，因此不会认为1是素数。到了中世纪与文艺复兴时期，许多数学家将1纳入作为第一个素数[6]。到18世纪中期，克里斯蒂安·哥德巴赫在他与李昂哈德·欧拉著名的通信里将1列为第一个素数，但欧拉不同意[7]。然而，到了19世纪，仍有许多数学家认为数字1是个素数。例如，德里克·诺曼·雷默（Derrick Norman Lehmer）在他那最大达10,006,721的素数列表[8]中，将1列为第1个素数[9]。昂利·勒贝格据说是最后一个称1为素数的职业数学家[10]。到了20世纪初，数学家开始认为1不是个素数，但反而作为“单位”此一特殊类别[6]。

许多数学成果在称1为素数时，仍将有效，但欧几里何的算术基本定理（如上所述）则无法不重新叙述而仍然成立。例如，数字15可分解成3 · 5及 1 · 3 · 5；若1被允许为一个素数，则这两个表示法将会被认为是将15分解至素数的不同方法，使得此一定理的陈述必须被修正。同样地，若将1视为素数，埃拉托斯特尼筛法将无法正常运作：若将1视为素数，此一筛法将会排除掉所有1的倍数（即所有其他的数），只留下数字1。此外，素数有几个1所没有的性质，如欧拉函数的对应值，以及除数函数的总和[11][12]。

历史[编辑]

埃拉托斯特尼筛法是个找出在一特定整数以下的所有素数之简单算法，由古希腊数学家埃拉托斯特尼于公元前3世纪发明。

在古埃及人的幸存纪录中，有迹象显示他们对素数已有部分认识：例如，在莱因德数学纸草书中的古埃及分数展开时，对素数与对合数有着完全不同的类型。不过，对素数有过具体研究的最早幸存纪录来自古希腊。公元前300年左右的《几何原本》包含与素数有关的重要定理，如有无限多个素数，以及算术基本定理。欧几里得亦展示如何从梅森素数建构出完全数。埃拉托斯特尼提出的埃拉托斯特尼筛法是用来计算素数的一个简单方法，虽然今天使用电脑发现的大素数无法使用这个方法找出。

希腊之后，到17世纪之前，素数的研究少有进展。1640年，皮埃尔·德·费马叙述了费马小定理（之后才被莱布尼茨与欧拉证明）。费马亦推测，所有具

{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}

形式的数均为素数（称之为费马数），并验证至

{\displaystyle n=4}

（即216 + 1）不过，后来由欧拉发现，下一个费马数232 + 1即为合数，且实际上其他已知的费马数都不是素数。法国修道士马兰·梅森发现有的素数具

−

{\displaystyle 2^{p}-1}

的形式，其中

{\displaystyle p}

为素数。为纪念他的贡献，此类素数后来被称为梅森素数。

欧拉在数论中的成果，许多与素数有关。他证明无穷级数

…

{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\ldots }

会发散。1747年，欧拉证明每个偶完全数都确实为

−

(

−

)

{\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

的形式，其中第二个约数为梅森素数。

19世纪初，勒让德与高斯独立推测，当

{\displaystyle x}

趋向无限大时，小于

{\displaystyle x}

的素数数量会趋近于

⁡

{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}

，其中

⁡

{\displaystyle \ln x}

为

{\displaystyle x}

的自然对数。黎曼于1859年有关ζ函数的论文（英语：On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中勾勒出一个程式，导出了素数定理的证明。其大纲由雅克·阿达马与夏尔-让·德拉瓦莱·普桑所完成，他们于1896年独立证明出素数定理。

证明一个大数是否为素数通常无法由试除法来达成。许多数学家已研究过大数的素性测试，通常局限于特定的数字形式。其中包括费马数的贝潘测试（英语：Pépin's test）（1877年）、普罗丝定理（约1878年）、卢卡斯-莱默素数判定法（1856年起）[13]及广义卢卡斯素性测试（英语：Lucas primality test）。较近期的算法，如APRT-CL（英语：Adleman–Pomerance–Rumely primality test）、ECPP（英语：Elliptic curve primality）及AKS等，均可作用于任意数字上，但仍慢上许多。

长期以来，素数被认为在纯数学以外的地方只有极少数的应用[14]。到了1970年代，发明公共密钥加密这个概念之后，情况改变了，素数变成了RSA加密算法等一阶算法之基础。

自1951年以来，所有已知最大的素数都由电脑所发现。对更大素数的搜寻已在数学界以外的地方产生出兴趣。互联网梅森素数大搜索及其他用来寻找大素数的分散式运算计划变得流行，在数学家仍持续与素数理论奋斗的同时。

素数的数目[编辑]

主条目：欧几里得定理

存在无限多个素数。另一种说法为，素数序列

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

永远不会结束。此一陈述被称为“欧几里得定理”，以古希腊数学家欧几里得为名，因为他提出了该陈述的第一个证明。已知存在其他更多的证明，包括欧拉的分析证明、哥德巴赫依据费马数的证明[15]、弗斯滕伯格使用一般拓扑学的证明[16]，以及库默尔优雅的证明[17]。

欧几里得的证明[编辑]

欧几里得的证明[18]取任一个由素数所组成的有限集合

{\displaystyle S}

。该证明的关键想法为考虑

{\displaystyle S}

内所有素数相乘后加一的一个数字：

∏

∈

{\displaystyle N=1+\prod _{p\in S}p}

。

如同其他自然数一般，

{\displaystyle N}

可被至少一个素数整除（即使N本身为素数亦同）。

任何可整除N的素数都不可能是有限集合

{\displaystyle S}

内的元素（素数），因为后者除N都会余1。所以，

{\displaystyle N}

可被其他素数所整除。因此，任一个由素数所组成的有限集合，都可以扩展为更大个由素数所组成之集合。

这个证明通常会被错误地描述为，欧几里得一开始假定一个包含所有素数的集合，并导致矛盾；或者是，该集合恰好包含n个最小的素数，而不任意个由素数所组成之集合[19]。今日，

{\displaystyle n}

个最小素数相乘后加一的一个数字，被称为第

{\displaystyle n}

个欧几里得数。

欧拉的解析证明[编辑]

欧拉的证明使用到素数倒数的总和

(

)

⋯

{\displaystyle S(p)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}}

。

当

{\displaystyle p}

够大时，该和会大于任意实数[20]。这可证明，存在无限多个素数，否则该和将只会增长至达到最大素数

{\displaystyle p}

为止。

(

)

{\displaystyle S(p)}

的增加率可使用梅滕斯第二定理来量化[21]。比较总和

⋯

∑

{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}}

当

{\displaystyle n}

趋向无限大时，此和不会变成无限大（见巴塞尔问题）。这意味着，素数比自然数的平方更常出现。布朗定理指出，孪生素数倒数的总和

(

)

(

)

(

)

⋯

∑

prime,

prime

(

)

是有限的。

测试素数与整数分解[编辑]

确认一个数

{\displaystyle n}

是否为素数有许多种方法。最基本的程序为试除法，但因为速率很慢，没有什么实际用处。有一类现代的素性测试可适用于任意数字之上，另有一类更有效率的测试方法，则只能适用于特定的数字之上。大多数此类方法只能辨别

{\displaystyle n}

是否为素数。也能给出

{\displaystyle n}

的一个（或全部）素因数之程序称之为约数分解算法。

试除法[编辑]

主条目：试除法

测试

{\displaystyle n}

是否为素数的最基本方法为试除法。此一程序将n除以每个大于1且小于等于

{\displaystyle n}

的平方根之整数

{\displaystyle m}

。若存在一个相除为整数的结果，则

{\displaystyle n}

不是素数；反之则是个素数。实际上，若

{\displaystyle n=ab}

是个合数（其中

{\displaystyle a}

与

≠

{\displaystyle b\neq 1}

），则其中一个约数

{\displaystyle a}

或

{\displaystyle b}

必定至大为

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

。例如，对

{\displaystyle n=37}

使用试除法，将37除以

{\displaystyle m=2,3,4,5,6}

，没有一个数能整除37，因此37为素数。此一程序若能知道直至

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

的所有素数列表，则可以只检查

{\displaystyle m}

为素数的状况，以提升效率。例如，为检查37是否为素数，只有3个相除是必要的（

{\displaystyle m=2,3,5}

），因为4与6为合数。

作为一个简单的方法，试除法在测试大整数时很快地会变得不切实际，因为可能的约数数量会随着n的增加而迅速增加。依据下文所述之素数定理，小于

{\displaystyle {\sqrt {n}}}

的素数之数量约为

⁡

{\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{\ln {\sqrt {n}}}}}

，因此使用试除法测试

{\displaystyle n}

是否为素数时，大约会需要用到这么多的数字。对

{\displaystyle n=10^{20}}

，此一数值约为4.5亿，对许多实际应用而言都太过庞大。

筛法[编辑]

一个能给出某个数值以下的所有素数之算法，称之为素数筛法，可用于只使用素数的试除法内。最古老的一个例子为埃拉托斯特尼筛法（见上文），至今仍最常被使用。阿特金筛法为另外一例。在电脑出现之前，筛法曾被用来给出107以下的素数列表[22]。

素性测试与素数证明[编辑]

主条目：素性测试

现代测试一般的数字

{\displaystyle n}

是否为素数的方法可分成两个主要类型，随机（或“蒙特卡洛”）与确定性算法。确定性算法可肯定辨别一个数字是否为素数。例如，试除法即是个确定性算法，因为若正确执行，该方法总是可以辨别一个素数为素数，一个合数为合数。随机算法一般比较快，但无法完全证明一个数是否为素数。这类测试依靠部分随机的方法来测试一个给定的数字。例如，一测试在应用于素数时总是会通过，但在应用于合数时通过的概率为

{\displaystyle p}

。若重复这个测试

{\displaystyle n}

次，且每次都通过，则该数为合数的概率为

(

−

)

{\displaystyle {\frac {1}{(1-p)^{n}}}}

，会随着测试次数呈指数下滑，因此可越来越确信（虽然总是无法完全确信）该数为素数。另一方面，若测试曾失败过，则可知该数为合数。

随机测试的一个特别简单的例子为费马素数判定法，使用到对任何整数

{\displaystyle a}

，

≡

(

mod

)

{\displaystyle n^{p}\equiv n(\mod p)}

，其中

{\displaystyle p}

为素数的这个事实（费马小定理）。若想要测试一个数字

{\displaystyle b}

是否为素数，则可随机选择

{\displaystyle n}

来计算

(

mod

)

{\displaystyle n^{b}(\mod b)}

的值。这个测试的缺点在于，有些合数（卡迈克尔数）即使不是素数，也会符合费马恒等式，因此这个测试无法辨别素数与卡迈克尔数，最小的三个卡迈克尔数为561，1105，1729。卡迈克尔数比素数还少上许多，所以这个测试在实际应用上还是有用的。费马素数判定法更强大的延伸方法，包括贝利-PSW、米勒-拉宾与Solovay-Strassen素性测试，都保证至少在应用于合数时，有部分时候会失败。

确定性算法不会将合数错误判定为素数。在实务上，最快的此类方法为椭圆曲线素数证明。其运算时间是透过实务分析出来的，不像最新的AKS素性测试，有已被严格证明出来的复杂度。确定性算法通常较随机算法来得慢，所以一般会先使用随机算法，再采用较费时的确定性算法。

下面表格列出一些素性测试。运算时间以被测试的数字

{\displaystyle n}

来表示，并对随机算法，以

{\displaystyle k}

表示其测试次数。此外，

{\displaystyle \varepsilon }

是指一任意小的正数，

log

{\displaystyle \log }

是指一无特定基数的对数。大O符号表示，像是在椭圆曲线素数证明里，所需之运算时间最长为一常数（与n无关，但会与ε有关）乘于log5+ε(n)。

测试

发明于

类型

运算时间

注记

AKS素性测试

2002

确定性

(

log

⁡

(

)

{\displaystyle O(\log ^{6+\varepsilon }(n))}

椭圆曲线素数证明

1977

确定性

(

log

⁡

(

)

{\displaystyle O(\log ^{5+\varepsilon }(n))}

“实务分析”

贝利-PSW素性测试

1980

随机

(

log

⁡

)

{\displaystyle O(\log ^{3}n)}

无已知反例

米勒-拉宾素数判定法

1980

随机

(

⋅

log

⁡

(

)

{\displaystyle O(k\cdot \log ^{2+\varepsilon }(n))}

错误概率

−

{\displaystyle 4^{-k}}

Solovay-Strassen素数

1977

随机

(

⋅

log

⁡

)

{\displaystyle O(k\cdot \log ^{3}n)}

错误概率

−

{\displaystyle 2^{-k}}

费马素数判定法

随机

(

⋅

log

⁡

(

)

{\displaystyle O(k\cdot \log ^{2+\varepsilon }(n))}

遇到卡迈克尔数时会失败

专用目的算法与最大已知素数[编辑]

更多信息：素数列表

建构正五边形。5是个费马素数。

除了前述可应用于任何自然数n之上的测试外，一些更有效率的素性测试适用于特定数字之上。例如，卢卡斯素性测试需要知道n − 1的素因数，而卢卡斯-莱默素性测试则需要以n + 1的素因数作为输入。例如，这些测试可应用在检查

n! ± 1 = 1 · 2 · 3 · ... · n ± 1

是否为一素数。此类形式的素数称之为阶乘素数。其他具p+1或p-1之类形式的素数还包括索菲·热尔曼素数（具2p+1形式的素数，其中p为素数）、素数阶乘素数、费马素数与梅森素数（具2p − 1形式的素数，其中p为素数）。卢卡斯-雷默素性测试对这类形式的数特别地快。这也是为何自电脑出现以来，最大已知素数总会是梅森素数的原因。

费马素数具下列形式

Fk = 22k + 1,

其中，k为任意自然数。费马素数以皮埃尔·德·费马为名，他猜想此类数字Fk均为素数。费马认为Fk均为素数的理由为此串列的前5个数字（3、5、17、257及65537）为素数。不过，F5却为合数，且直至2015年发现的其他费马数字也全都是合数。一个正n边形可用尺规作图，当且仅当

n = 2i · m

其中，m为任意个不同费马素数之乘积，及i为任一自然数，包括0。

下列表格给出各种形式的最大已知素数。有些素数使用分散式计算找到。2009年，互联网梅森素数大搜索因为第一个发现具至少1,000万个数位的素数，而获得10万美元的奖金[23]。电子前哨基金会亦为具至少1亿个数位及10亿个数位的素数分别提供15万美元及25万美元的奖金[24]。

类型

素数

数位

日期

发现者

梅森素数

282589933 − 1

23,249,425

2018年12月21日

互联网梅森素数大搜索

非梅森素数（普罗斯数）

19,249×213,018,586 + 1

3,918,990

2007年3月26日

十七或者破产

阶乘素数

150209! + 1

712,355

2011年10月

PrimeGrid[25]

素数阶乘素数

1098133# - 1

476,311

2012年3月

PrimeGrid[26]

孪生素数s

3756801695685×2666669 ± 1

200,700

2011年12月

PrimeGrid[27]

整数分解[编辑]

主条目：整数分解

给定一合数n，给出一个（或全部）素因数的工作称之为n的约数分解。椭圆曲线分解是一个依靠椭圆曲线上的运算来分解素因数的算法。

素数分布[编辑]

1975年，数论学家唐·察吉尔评论素数

像生长于自然数间的杂草，似乎不服从概率之外的法则，（但又）表现出惊人的规律性，并有规范其行为之法则，且以军事化的精准度遵守着这些法则[28]。

大素数的分布，如在一给定数值以下有多少素数这个问题，可由素数定理所描述；但有效描述第n个素数的公式则仍未找到。

存在任意长的连续非素数数列，如对每个正整数

{\displaystyle n}

，从

(

)

{\displaystyle (n+1)!+2}

至

(

)

{\displaystyle (n+1)!+n+1}

的

{\displaystyle n}

个连续正整数都会是合数（因为若

{\displaystyle k}

为2至

{\displaystyle n+1}

间的一整数，

(

)

{\displaystyle (n+1)!+k}

就可被k整除）。

狄利克雷定理表示，取两个互素的整数a与b，其线性多项式

(

)

{\displaystyle p(n)=a+bn\,}

会有无限多个素数值。该定理亦表示，这些素数值的倒数和会发散，且具有相同b的不同多项式会有差不多相同的素数比例。

有关二次多项式的相关问题则尚无较好之理解。

素数的公式[编辑]

主条目：素数公式

对于素数，还没有一个已知的有效公式。例如，米尔斯定理与赖特所提的一个定理表示，存在实常数A>1与μ，使得

⌊

⌋

and

⌊

…

⌋

{\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\dots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }

对任何自然数n而言，均为素数。其中，

⌊

−

⌋

{\displaystyle \lfloor -\rfloor }

为高斯符号，表示不大于符号内数字的最大整数。第二个公式可使用伯特兰-切比雪夫定理得证（由切比雪夫第一个证得）。该定理表示，总是存在至少一个素数p，使得 n < p < 2n − 2，其中n为大于3的任一自然数。第一个公式可由威尔逊定理导出，每个不同的n会对应到不同的素数，除了数字2会有多个n对应到外。不过，这两个公式都需要先计算出A或μ的值来[29]。

不存在一个只会产生素数值的非常数多项式，即使该多项式有许多个变量。不过，存在具9个变量的丢番图方程，其参数具备以下性质：该参数为素数，当且仅当其方程组有自然数解。这可被用来获得其所有“正值”均为素数的一个公式[30]。

一特定数以下的素数之数量[编辑]

主条目：素数定理和素数计算函数

图中的曲线分别表示π(n)（蓝）、n / ln (n)（绿）与Li(n)（红）。

素数计算函数π(n)被定义为不大于n的素数之数量。例如，π(11) = 5，因为有5个素数小于或等于11。已知有算法可比去计算每个不大于n的素数更快的速率去计算π(n)的值。素数定理表示，π(n)的可由下列公式近似给出：

(

)

≈

⁡

{\displaystyle \pi (n)\approx {\frac {n}{\ln n}},}

亦即，π(n)与等式右边的值在n趋近于无限大时，会趋近于1。这表示，小于n的数字为素数的可能性（大约）与n的数位呈正比。对π(n)更精确的描述可由对数积分给出：

⁡

(

)

∫

⁡

{\displaystyle \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\ln t}}}

。

素数定理亦蕰涵著对第n个素数pn（如p1 = 2、p2 = 3等）的大小之估算：当数字大到某一程度时，pn的值会变得约略为n log(n)[31]。特别的是，素数间隙，即两个连续素数pn与pn+1间的差会变得任意地大。后者可由数列 n! + 2, n! + 3,…, n! + n（其中n为任一自然数）看出。

等差数列[编辑]

等差数列是指由被一固定数（模）q除后会得到同一余数的自然数所组成之集合。例如：

3, 12, 21, 30, 39, ...,

是一个等差数列，模q = 9。除了3以外，其中没有一个数会是素数，因为3 + 9n = 3(1 + 3n)，所以此一数列里的其他数字均为合数。（一般来所有大于q的素数都具有q#·n + m的形式，其中0 < m < q#，且m没有不大于q的素因数。）因此，数列

a, a + q, a + 2q, a + 3q,…

只在a与q 互素（其最大公约数为1）之时，可以有无限多个素数。若满足此一必要条件，狄利克雷定理表示，该数列含有无限多个素数。下图描述q = 9时的情形：数字每遇到9的倍数就会再再由下往上缠一次。素数以红底标记。行（数列）开始于a = 3, 6, 9者至多只包含一个素数。其他行（a = 1, 2, 4, 5, 7, 8）则均包含无限多个素数。更甚之，素数以长期来看，会均匀分布于各行之中，亦即每个素数模9会与6个数其中一数同余的概率均为1/6。

素数（以红底标计）在模9的等差数列中。

格林-陶定理证明，存在由任意多个素数组成的等差数列[32]。一个奇素数p可表示成两个平方数之和p = x2 + y2，当且仅当p同余于1模4（费马平方和定理）。

二次多项式的素数值[编辑]

乌岚螺旋。红点表示素数。具4n2 − 2n + 41形式的素数则以蓝点标记。

欧拉指出函数

{\displaystyle n^{2}+n+41\,}

于　0 ≤ n < 40时会给出素数[33][34]，此一事实导致了艰深的代数数论，或更具体地说为黑格纳数。当n更大时，该函数会给出合数值。哈代- 李特伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）能给出一个有关具整数系数a、b与c的二次多项式

(

)

{\displaystyle f(n)=ax^{2}+bx+c\,}

的值为素数之概率的一个渐近预测，并能以对数积分Li(n)及系数a、b、c来表示。不过，该程式已被证实难以取得：仍未知是否存在一个二次多项式（a ≠ 0）能给出无限多个素数。乌岚螺旋将所有自然数以螺旋的方法描绘。令人惊讶的是，素数会群聚在某些对角线上，表示有些二次多项式会比其他二次多项式给出更多个素数值来。

未解决的问题[编辑]

ζ函数与黎曼猜想[编辑]

主条目：黎曼猜想

ζ函数ζ(s)的图。在s=1时，该函数会有极点，亦即会趋近于无限大。

黎曼ζ函数ζ(s)被定义为一无穷级数

(

)

∑

∞

{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}

其中，s为实数部分大于1的一个复数。由算术基本定理可证得，该级数会等于下面的无穷乘积

∏

prime

−

{\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}

。

ζ函数与素数密切相关。例如，存在无限多个素数这个事实也可以使用ζ函数看出：若只有有限多个素数，则ζ(1)将会是个有限值。不过，调和级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...会发散，所以必须有无限多个素数。另一个能看见ζ函数的丰富性，并一瞥现代代数数论的例子为下面的恒等式（巴塞尔问题，由欧拉给出）：

(

)

∏

−

{\displaystyle \zeta (2)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

。

ζ(2)的倒数6/π2，是两个随机选定的数字会互素的概率[35][36]。

未被证明的“黎曼猜想”，于1859年提出，表示除s = −2, −4, ...,外，ζ函数所有的根，其实数部分均为1/2。此一猜想与素数间的关连在于，该猜想实际上是在说，素数在正整数中出现频率和统计学的随机不同；若假设为真，素数计算函数便可有效掌握，在大数时不再需要近似求值。从物理的观点来看，这大约是在说，素数分布的不规则性仅来自于随机的噪声。从数学的观点来看，则大约是在说，素数的渐近分布（素数定理表示小于x的素数约有x/log x个）在x周围的区间内，于区间长度远小于x的平方根时亦成立。此一猜想一般认为是正确的。

其他猜想[编辑]

更多信息：分类:素数猜想

除了黎曼猜想之外，还有许多其他的猜想存在。虽然这些猜想的陈述大多很简单，但许多猜想经过了数十年仍提不出证明，如4个兰道问题，从1912年提出至今仍然未解。其中一个为哥德巴赫猜想，该猜想认为每个大于2的偶数n都可表示成两个素数之和。至于2011年2月，这个猜想对最大达n = 2 · 1017的所有数字都会成立[37]。较弱形式的哥德巴赫猜想已被证明，如维诺格拉多夫定理，该定理表示每个足够大的奇数都可表示成三个素数之和。陈氏定理表示，每个足够大的偶数都可表示成一个素数与一个半素数（两个素数的乘积）之和。此外，任一个偶数均可写成六个素数之和[38]。数论研究这些问题的分支称之为加法数论。反哥德巴赫猜想，所有的正偶数n都可以表示成两个素数之差，但此猜想可由波利尼亚克猜想类推证明。

其他猜想处理是否有无限多个具某些限制的素数这类问题。据猜想，存在无限多个费波那契素数[39]与无限多个梅森素数，但没有无限多个费马素数[40]。还不知道是否存在无限多个维费里希素数与欧几里得素数。

第三种类型的猜想涉及到素数的分布情形。据猜想，存在无限多对孪生素数，即有无限多对相差2的素数（孪生素数猜想）。波利尼亚克猜想（英语：Polignac's conjecture）是比孪生素数猜想更强的一个猜想，该猜想表示存在无限多对相差2n的连续素数[41]。据猜想，存在无限多个具n2 + 1形式的素数[42]。上述猜想都是申策尔猜想的特例。布罗卡猜想表示，在两个大于2的连续素数之平方数之间，总是会有至少4个素数。勒让德猜想表示，对每个正整数n，n2与(n + 1)2间总会存在一个素数。克拉梅尔猜想可导出勒让德猜想。

应用[编辑]

长期以来，数论，尤其是对素数的研究，一般都会被认为是典型的纯数学，除了求知的趣味之外，没有其他应用。特别是，一些数论学家，如英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代即对其工作绝对不会有任何在军事上的重大性感到自豪[43]。然而，此一观点在1970年代时遭到粉碎，当素数被公开宣布可以作为产生公钥加密算法的基础之时。素数现在也被用在杂凑表与伪乱数产生器（英语：Pseudo-random number generator）里。

旋转机被设计成在每个转片上有不同数目的销，在每个转片上的销的数量都会是素数，亦或是会与其他转片上的销的数量互素。这有助于在重复所有的组合之前，让所有转片的可能组合都能出现过一次。[来源请求]

国际标准书号的最后一码为校验码，其算法使用到了11是个素数的这个事实[来源请求]。

在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数最好设计成素数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的素数次数的使用也得到了证明。实验表明，素数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性[来源请求]。

以素数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截[来源请求]。

模一素数与有限域之运算[编辑]

主条目：模运算

“模运算”使用下列数字修改了一般的运算

{

…

−

}

{\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\},\,}

其中n是个固定的自然数，称之为“模”。计算加法、减法及乘法都与一般的运算一样，不过负数或大于n − 1的数字出现时，会被除以n所得的余数取代。例如，对n=7，3+5为1，而不是8，因为8除以7余1。这通常念为“3+5同余于1模7”，并标记为

≡

(

mod

)

{\displaystyle 3+5\equiv 1{\pmod {7}}}

。

同样地，6 + 1 ≡ 0 (mod 7)、2 - 5 ≡ 4 (mod 7)，因为 -3 + 7 = 4，以及3 · 4 ≡ 5 (mod 7)，因为12除以7余5。加法与乘法在整数里常见的标准性质在模运算里也依然有效。使用抽象代数的说法，由上述整数所组成之集合，亦标记为Z/nZ，且因此为一可交换环。不过，除法在模运算里不一定都是可行的。例如，对n=6，方程

⋅

≡

(

mod

)

{\displaystyle 3\cdot x\equiv 2{\pmod {6}},}

的解x会类比于2/3，无解，亦可透过计算3 · 0、...、3 · 5模6看出。不过，有关素数的不同性质如下：除法在模运算里是可行的，当且仅当n为素数。等价地说，n为素数，当且仅当所有满足2 ≤ m ≤ n − 1的整数m都会与n 互素，亦即其公约数只有1。实际上，对n=7，方程

⋅

≡

(

mod

⁡

)

{\displaystyle 3\cdot x\equiv 2\ \ (\operatorname {mod} \ 7),}

会有唯一的解x = 3。因此，对任何素数p，Z/pZ（亦标记为Fp）也会是个体，或更具体地说，是个有限域，因为该集合包含有限多（即p）个元素。

许多定理可以透过从此一抽象的方式检查Fp而导出。例如，费马小定理表示

−

≡

(

mod

⁡

)

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1(\operatorname {mod} \ p)}

，其中a为任一不被p整除的整数。该定理即可使用这些概念证得。这意味着

∑

−

≡

(

−

)

⋅

≡

−

(

mod

)

{\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}}}

。

吾乡-朱加猜想表示，上述公式亦是p为素数的必要条件。另一个费马小定理的推论如下：若p为2与5之外的其他素数，1/p总是个循环小数，其周期为p − 1或p − 1的约数。分数1/p依q（10以外的整数）为基底表示亦有类似的效果，只要p不是q的素因数的话。威尔逊定理表示，整数p > 1为素数，当且仅当阶乘 (p − 1)! + 1可被p整除。此外，整数n > 4为合数，当且仅当 (n − 1)!可被n整除。

其他数学里出现的素数[编辑]

许多数学领域里会大量使用到素数。举有限群的理论为例，西罗定理即是一例。该定理表示，若G是个有限群，且pn为素数p可整除G的阶的最大幂次，则G会有个pn阶的子群。此外，任意素数阶的群均为循环群（拉格朗日定理）。

公开金钥加密[编辑]

主条目：公开金钥加密

几个公开金钥加密算法，如RSA与迪菲－赫尔曼金钥交换，都是以大素数为其基础（如512位元的素数常被用于RSA里，而1024位元的素数则一般被迪菲-赫尔曼金钥交换所采用）。RSA依靠计算出两个（大）素数的相乘会比找出相乘后的数的两个素因数容易出许多这个假设。迪菲－赫尔曼金钥交换依靠存在模幂次的有效算法，但相反运算的离散对数仍被认为是个困难的问题此一事实。

自然里的素数[编辑]

周期蝉属里的蝉在其演化策略上使用到素数[44]。蝉会在地底下以幼虫的形态度过其一生中的大部分时间。周期蝉只会在7年、13年或17年后化蛹，然后从洞穴里出现、飞行、交配、产卵，并在至多数周后死亡。此一演化策略的原因据信是因为若出现的周期为素数年，掠食者就很难演化成以周期蝉为主食的动物[45]。若周期蝉出现的周期为非素数年，如12年，则每2年、3年、4年、6年或12年出现一次的掠食者就一定遇得到周期蝉。经过200年以后，假设14年与15年出现一次的周期蝉，其掠食者的平均数量，会比13年与17年出现一次的周期蝉，高出2%[46]。虽然相差不大，此一优势似乎已足够驱动天择，选择具素数年生命周期的这些昆虫。

据猜测，ζ函数的根与复数量子系统的能阶有关[47]。

推广[编辑]

素数的概念是如此的重要，以致此一概念被以不同方式推广至数学的不同领域里去。通常，“质”（prime）可在适当的意义下，用来表示具有最小性或不可分解性。例如，质体是指一个包含0与1的体F的最小子域。质体必为有理数或具有p个元素的有限域，这也是其名称的缘由[48]。若任一对象基本上均可唯一地分解成较小的部分，则这些较小的部分也会用“质”这个字来形容。例如，在纽结理论里，质纽结是指不可分解的纽结，亦即该纽结不可写成两个非平凡纽结的连通和。任一纽结均可唯一地表示为质纽约的连通和[49]。质模型与三维质流形亦为此类型的例子。

环内的素元[编辑]

主条目：素元和不可约元素

素数应用于任一可交换环R（具加法、减法与乘法的代数结构）的元素，可产生两个更为一般的概念：“素元”与“不可约元素”。R的元素称为素元，若该元素不为0或单位元，且给定R内的元素x与y，若p可除以xy，则p可除以x或y。一元素称为不可约元素，若该元素不为单位元，且无法写成两个不是单位元之环元素的乘积。在整数环Z里，由素元所组成的集合等于由不可约元素所组成的集合，为

{

…

−

…

}

{\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,}

。

在任一环R里，每个素元都是不可约元素。反之不一定成立，但在唯一分解整环里会成立。

算术基本定理在唯一分解整环里仍然成立。此类整环的一个例子为高斯整数Z[i]，由具a + bi（其中a与b为任意整数）形式的复数所组成之集合。其素元称之为“高斯素数”。不是所有的素数都是高斯素数：在这个较大的环Z[i]之中，2可被分解成两个高斯素数 (1 + i)与 (1 - i)之乘积。有理素数（即在有理数里的素元），具4k+3形式者为高斯素数；具4k+1形式者则不是。

素理想[编辑]

主条目：素理想

在环论里，数的概念一般被理想所取代。“素理想”广义化了素元的概念，为由素元产生的主理想，是在交换代数、代数数论与代数几何里的重要工具与研究对象。整数环的素理想为理想 (0)、(2)、(3)、(5)、(7)、(11)、…算术基本定理被广义化成准素分解，可将每个在可交换诺特环里的理想表示成准素理想（为素数幂次的一适合广义化）的交集[50]。

透过环的谱这个概念，素理想成为代数几何对象的点[51]。算术几何也受益于这个概念，且许多概念会同时存在于几何与数论之内。例如，对一扩张域的素理想分解（这是代数数论里的一个基本问题），与几何里的分歧具有某些相似之处。此类分歧问题甚至在只关注整数的数论问题里也会出现。例如，二次域的整数环内的素理想可被用来证明二次互反律。二次互反律讨论下面二次方程

≡

(

mod

)

{\displaystyle x^{2}\equiv p\ \ ({\text{mod }}q),\,}

是否有整数解，其中x为整数，p与q为（一般）素数[52]。早期对费马最后定理证明之尝试，于恩斯特·库默尔引入正则素数后达到了高潮。正则素数是指无法在由下列式子（其中a0、…、ap−1为整数，ζ则是能使ζp = 1的复数）

⋯

−

{\displaystyle a_{0}+a_{1}\zeta +\cdots +a_{p-1}\zeta ^{p-1}\,,}

组成的环里，使得唯一分解定理失效的素数[53]。

赋值[编辑]

赋值理论研究由一个体K映射至实数R的某个函数（称之为赋值）[54]。每个此类赋值都能给出一个 K上的拓扑，且两个赋值被称为等价，若两者有相同拓扑。K的素数为一赋值的等价类。例如，一个有理数q的p进赋值被定义为整数vp(q)，使得

(

)

{\displaystyle q=p^{v_{p}(q)}{\frac {r}{s}},}

其中r与s不被p所整除。例如，v3(18/7) = 2。p进范数被定义为[nb 1]

−

(

)

{\displaystyle \left|q\right|_{p}:=p^{-v_{p}(q)}.\,}

特别的是，当一个数字乘上p时，其范数会变小，与一般的绝对赋值（亦称为无限素数）形成明显的对比。当透过绝对赋值完备有理数会得出由实数所组成的体，透过p进范数完备有理数则会得出由p进数所组成的体[55]。实际上，依据奥斯特洛夫斯基定理，上述两种方法是完备有理数的所有方法。一些与有理数或更一般化之整体域有关的算术问题，可能可以被变换至完备（或局部）体上。此一局部-全域原则再次地强调了素数对于数论的重要性。

在艺术与文学里[编辑]

素数也影响了许多的艺术家与作家。法国作曲家奥立佛·梅湘使用素数创造出无节拍音乐。在《La Nativite du Seigneur》与《Quatre etudes de rythme》等作品里，梅湘同时采用由不同素数给定之长度的基调，创造出不可预测的节奏：第三个练习曲《Neumes rythmiques》中出现了素数41、43、47及53。据梅湘所述，此类作曲方式是“由自然的运动，自由且不均匀的持续运动中获得的灵感”[56]。

NASA科学家卡尔·萨根在他的科幻小说《接触未来》（Contact）里，认为素数可作为与外星人沟通的一种方式。这种想法是他与美国天文学家法兰克·德雷克于1975年闲聊时形成的[57]。

许多电影，如《异次元杀阵》（Cube）、《神鬼尖兵》（Sneakers）、《越爱越美丽》（The Mirror Has Two Faces）及《美丽境界》（A Beautiful Mind），均反映出大众对素数与密码学之神秘的迷恋[58]。保罗·裘唐诺所著的小说《素数的孤独》（The Solitude of Prime Numbers）里，素数被用来比喻寂寞与孤独，被描述成整数之间的“局外人”[来源请求]。

荒木飞吕彦所创作的日本漫画《JoJo的奇妙冒险》第六部《石之海》的反派普奇神父喜欢数素数，他认为素数是孤独的数字，并透过数素数安抚他紧张的情绪。

另见[编辑]

阿德曼-波门伦斯-鲁梅利素性测试

Bonse不等式

布朗筛法

伯恩赛德定理

契博塔耶夫密度定理

中国余数定理

卡伦数

非法素数

素数列表

梅森素数

可乘数论

普通数域筛选法

贝潘测试

实际数

质k元组

自由黎曼气体

二次剩余问题

RSA数

光滑数

超素数

胡道尔数

幸运素数

素数判定法则

埃拉托斯特尼筛法

孪生素数

三胞胎素数

PrimeGrid

GIMPS

素数大富豪

注记[编辑]

^ Some sources also put

−

(

)

{\displaystyle \left|q\right|_{p}:=e^{-v_{p}(q)}.\,}

^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1. 互联网梅森素数大搜索计划. （原始内容存档于2019-04-07）.

^ Dudley, Underwood, Elementary number theory 2nd, W. H. Freeman and Co., 1978, ISBN 978-0-7167-0076-0 , p. 10, section 2

^ Dudley 1978, Section 2, Theorem 2

^ Dudley 1978, Section 2, Lemma 5

^ 如见David E. Joyce对几何原本的注记，Book VII, definitions 1 and 2 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

^ 6.0 6.1 存档副本. [2015-08-23]. （原始内容存档于2015-04-19）.

^ Weisstein, Eric W., "Goldbach Conjecture," MathWorld

^ Riesel 1994, p. 36

^ Conway & Guy 1996, pp. 129–130

^ ""Arguments for and against the primality of 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）".

^ "Why is the number one not prime?". [2015-08-23]. （原始内容存档于2008-05-09）.

^ The Largest Known Prime by Year: A Brief History （页面存档备份，存于互联网档案馆） Prime Curios!: 17014…05727 (39-digits) （页面存档备份，存于互联网档案馆）

^ 例如，Beiler写道，数论学家恩斯特·库默尔热爱他的理想数，该数与素数密切相关，“因为这些数没有被任何实际应用所玷污”。Katz则写道，爱德蒙·兰道（他最为人所知的是对素数分布的相关研究）“厌恶数学的实际应用”，且因为这个理由，规避几何等已知有所用途之学科。Beiler, Albert H., Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover: 2, 1966 [2015-08-23], ISBN 9780486210964, （原始内容存档于2021-04-17） . Katz, Shaul, Berlin roots—Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem, Science in Context, 2004, 17 (1-2): 199–234, MR 2089305, doi:10.1017/S0269889704000092

^ Letter （页面存档备份，存于互联网档案馆） in Latin from Goldbach to Euler, July 1730.

^ Furstenberg 1955

^ Ribenboim 2004, p. 4

^ Hardy, Michael; Woodgold, Catherine. Prime Simplicity. Mathematical Intelligencer. 2009, 31 (4): 44–52. doi:10.1007/s00283-009-9064-8.

^ Apostol, Tom M., Introduction to Analytic Number Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3 , Section 1.6, Theorem 1.13

^ Apostol 1976, Section 4.8, Theorem 4.12

^ （Lehmer 1909）.

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^ Chris K. Caldwell. The Top Twenty: Primorial. Primes.utm.edu. [2013-02-05]. （原始内容存档于2021-05-06）.

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^ （Tom M. Apostol 1976）, Section 4.6, Theorem 4.7

^ （Ben Green & Terence Tao 2008）

^ Hua 2009，第176-177页.